考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例

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(n?1)r?1?nr?1n?. ②

r?1r当n?1时，在①中令x??1（这时x??1且x?0），类似可得

nnr?1?(n?1)r?1n?. ③

r?1r且当n?1时，③也成立. 综合②，③得

nr?1?(n?1)r?1(n?1)r?1?nr?1r?n?. ④

r?1r?1（Ⅲ）在④中，令r?1，n分别取值81，82，83，?，125，得

34443433333（81?80）<81?(82?813)， 444444333333（82?81）<82?(83?823)， 444444333333（83?82）?83?(84?833)， 44 ???

4444333333（125?124）?125?(126?1253). 44将以上各式相加，并整理得

444433333（125?80）?S?(126?813). 44代入数据计算，可得

444433（1253?803）?210.2，（1263?813）?210.9. 44由??S??的定义，得??S???211.

26. （2013·湖北高考文科·T21）设a?0，b?0，已知函数（Ⅰ）当a?b时，讨论函数（Ⅱ）当x?0时，称（i）判断

f(1), f(f(x)?ax?b. x?1f(x)的单调性；

f(x)为a、b关于x的加权平均数.

bbbb),f()是否成等比数列，并证明f()?f()aaaa；

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（ii）a、b的几何平均数记为G. 称

H?f(x)?G，求x的取值范围.

2ab为a、b的调和平均数，记为a?bH.若

【解题指南】（Ⅰ）求出函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，注意分类讨论。（Ⅱ）（i）表示出

bbf()?f()aaf(1), f(b)a,

bf()用等比中项加以证明，a由基本不等式可以证明；（ii）用（Ⅰ）的结论函数的单调性分

类证明。

【解析】（I）f(x)的定义域为(??,?1)?(?1,??),

a(x?1)?(ax?b)a?b f?(x)?， ?22(x?1)(x?1) 当a?b时，f?(x)?0，函数f(x)在(??,?1),(?1,??)上单调递增； 当a?b时，f?(x)?0，函数f(x)在(??,?1),(?1,??)上单调递减。 （II）（i）计算得f(1)? 故f(1)f()?baa?bb2abb?0,f()??0,f()?ab?0， 2aa?baa?b2abb??ab?[f()]2，即 2a?babbf(1)f()?[f()]2?? ①

aa所以f(1),f(因

bb),f()成等比数列。 aaa?bbbb?ab,即f(1)?f()，由①得f()?f()。

aa2abab)?G，故由H?f(x)?G，得 a（ii）由（i）知f()?H,f( f()?f(x)?f(babab) ?? ② ab)?a 。 a当a?b时，f()?f(x)?f(

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这时，x的取值范围是(0,??)； 当a?b时，0??1，从而? ?x?bababab，由f(x)在(0,??)上单调递增与②式得 ababbb，即x的取值范围是[,]；

aaabab，由f(x)在(0,??)上单调递减与②式得 a当 a?b 时， ?1，从而?

bbbb?x?，即x的取值范围是[,]。

aaaax?c(e?2.71828是自然对e2x27. （2013·山东高考理科·Ｔ21）设函数f(x)?数的底数，c?R).

（Ⅰ）求f(x)的单调区间，最大值；

（Ⅱ）讨论关于x的方程|lnx|?f(x)根的个数.

【解题指南】（Ⅰ）先利用导数公式求函数的导数，根据单调性与导数的关系求出函数的单调区间，然后再利用单调性求最值.（Ⅱ）将求函数根的个数问题转化为求函数零点的个数，利用函数的导数来判断函数的单调性，然后利用单调性判断函数零点. 【解析】（Ⅰ）f??x???1?2x?e?2x， 由f??x??0解得x?，

121当x?时，f??x??0，f?x?单调递减.

212当x?时，f??x??0，f?x?单调递增；

1??1?所以，函数f?x?的单调递增区间是?，单调递减区间是??,???,???，

?2??2?1?1?1最大值为f????e?e.

?2?2（Ⅱ）令g?x??lnx?f?x??lnx?xe?2x?c，x??0,???，

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① 当x??1,???时，lnx?0，则g?x??lnx?xe?2x?c， 所以g??x??e?2x?e2x????2x?1?x?， ??e2x因为2x?1?0,?0，

x所以g??x??0.

所以g?x?在?1,???上单调递增.

② 当x??0,1?时，lnx?0，则g?x???lnx?xe?2x?c 所以g??x??e?2x?e2x?????2x?1?x?， ??因为e2x??1,e2?，e2x?1?x?0，

e2x??1. 所以?x又2x?1?1，

e2x?2x?1?0，即g??x??0. 所以?x因此g?x?在?0,1?上单调递减，

综合①②可知，当x??0,???，g?x??g?1???e?2?c， 当g?1???e?2?c?0，即c??e?2时，g?x?没有零点， 故关于x的方程lnx?f?x?根的个数为0；

当g?1???e?2?c?0，即c??e?2时，g?x?只有一个零点， 故关于x的方程lnx?f?x?根的个数为1； 当g?1???e?2?c?0，即c??e?2时， a.当x??1,???时，由（Ⅰ）知

?1?g?x??lnx?xe?2x?c?lnx??e?1?c??lnx?1?c，

?2?