初中数学竞赛辅导资料(5)

初中数学竞赛辅导资料（5）

n

a 的个位数 甲内容提要

.1. 整数a的正整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如20023与23的个位数字都是8。

2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。

3. 2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 底 2 …… 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 …… 数 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 …… 其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，＋＋＋

即24k+1与21，24K2与22，24K3与23，24K4与24的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。

4. 4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝22，

8＝23，9＝32转化为以2、3为底的幂。

5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：

＋

a4Km与am的个位数相同(k,m都是正整数。

乙例题

例1 20032003的个位数是多少？

解：20032003与32003的个位数是相同的，

∵2003＝4×500＋3，

∴32003与33的个位数是相同的，都是7， ∴2003的个位数是7。

例2 试说明632000＋1472002的和能被10整除的理由 解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2

∴632000与34的个位数相同都是1，1472002与72的个位数相同都是9， ∴632000＋1472002的和个位数是0， ∴632000＋1472002的和能被10整除。

例3 K取什么正整数值时，3k＋2k是5的倍数？ 例4 解：列表观察个位数的规律 K＝ 1 2 3 4 …… 3 9 7 1 …… 3的个位数 2 4 8 6 …… 2的个位数 3k＋2k的个位数 5 5 …… kk从表中可知，当K＝1，3时，3＋2的个位数是5，

∵am与a4n+m 的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数） ;∴当K为任何奇数时，3k＋2k是5的倍数。

1

丙练习5

1， 在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）

220 的个位数是 （ ） 45 的个位数是（ ） 330的个位数是 （ ） 87 的个位数是（ ）

74K+1的个位数是 （ ）

311＋79 的个位数是（ ） 216×314的个位数是（ ） 32k-1＋72k-1的个位数是（ ）

72k－32k 的个位数是（ ） 74k-1－64k-3的个位数是（ ）7710×3315×2220×5525的个位数是（ ）

2， 目前知道的最大素数是2216091－1，它的个位数是＿＿＿。 3， 说明如下两个数都能被10整除的理由。

① 5353－3333 ② 19871989－19931991 4， 正整数m取什么值时，3m＋1是10的倍数？

5， 设n是正整数，试说明2 n ＋7n+2能被5整除的理由。 6， 若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿

若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿ 若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿ 7, 12+22+32+……+92的个位数是＿＿，

12+22+32+……+192的个位数是＿＿，

12+22+32+……+292的个位数是＿＿。

8. a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是（ （A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321

2

）