2003年考研数学（二）真题评注
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1（1） 若x?0时，(1?ax)4?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .
（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .
（3） y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是 .
（4） 设曲线的极坐标方程为??ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .
?1???1???1?11?11???1，则 ?1??2（5） 设?为3维列向量，?T是?的转置. 若??TT??= .
（6） 设三阶方阵A,B满足A2B?A?B?E，其中E为三阶单位矩阵，若?1?A?0????20201??0，则B? . ?1??
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n??(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ]
n??n??（2）设an?3nn?1?232xn?101?xdx, 则极限limnan等于
n??n3?1 (A) (1?e)?1. (B) (1?e)2?1.
3?13 (C) (1?e)2?1. (D) (1?e)2?1. [ ]
1
（3）已知y?xlnx22是微分方程y??xx??()的解，则?()的表达式为 xyyyxxy22y （A） ?yxxy22. (B) .
22 (C) ?. (D) . [ ]
（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]
y
O x
??（5）设I1??4tanxx0dx,I2??4xtanx0dx, 则
(A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.
(C) I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ] （6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关. (C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关. [ ]
三 、（本题满分10分）
?3?ln(1?ax),x?0,??x?arcsinx6,x?0, 设函数 f(x)??ax2?e?x?ax?1x?0,,?x?xsin4? 2
问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？
四 、（本题满分9分）
?x?1?2t2,2dy?u1?2lnte 设函数y=y(x)由参数方程?(t?1)所确定，求2y?dudx??1u?x?9.
五 、（本题满分9分） 计算不定积分
?xearctanx3dx.
2(1?x)2六 、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.
dxdy22(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程分方程；
?(y?sinx)(dxdy)?0变换为y=y(x)满足的微
3(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?七 、（本题满分12分）
讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln八 、（本题满分12分）
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(交点为Q，且线段PQ被x轴平分.
(1) 求曲线 y=f(x)的方程；
432的解.
x的交点个数.
21,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的22(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x??(y)(y?0)绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，
液面的面积将以?m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.
(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.
23 3
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f?(x)?0. 若极限
lim?f(2x?a)x?a存在，证明：
x?a(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2) 在(a,b)内存在点?，使
b?a22?b?2?f(?)；
af(x)dx(3) 在(a,b) 内存在与(2)中?相异的点?，使 f?(?)(b2?a2)?十 一、（本题满分10分） ?2?若矩阵A?8???0P?12????abaf(x)dx.
2200??a相似于对角阵?，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使?6??AP??.
十二 、（本题满分8分）
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1: ax?2by?3c?0， l2: bx?2cy?3a?0， l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
1一．（1）. 【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知lim(1?ax)4xsinx2x?0?1，反过
来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.
12【详解】 当x?0时，(1?ax)4?1~?142ax，xsinx~x.
221于是，根据题设有 lim(1?ax)xsinx24??limx?01x?042xax??14a?1，故a=-4.
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