2018-2019学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式复习课学案 新人教A版选修4-5
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第一讲 不等式和绝对值不等式
复 习 课
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［警示·易错提醒]
1．不等式性质的两个易错点．
（1）忽略不等式乘法中“大于0”这一条件．
(2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误． 2．应用基本不等式求最值的三个注意点． （1）“一正”：各项或各因数都是正数． （2)“二定\：积(或和）为定值． （3)“三等”：等号成立的条件． 3．绝对值不等式的两个注意点．
（1）解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．
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（2）在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时,要注意同解变形．
专题一 基本不等式的应用
在用基本不等式求最值时,“正数\值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等．
[例1］ 已知x＞1，求函数y＝错误!的最小值． 解：y＝错误!＝错误!＝错误!错误!≥1，
当且仅当x－1＝错误!，即x＝2时,等号成立， 所以当x＝2时，y有最小值，最小值为1. 归纳升华
1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．
2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式（一般是凑和或积为定值的形式），构造出基本不等式的形式再进行求解．
[变式训练］ 已知a＞b＞c＞d,求证：错误!＋错误!＋错误!≥错误!. 证明:因为a＞b＞c＞d，
所以a－b＞0,b－c＞0，c－d＞0，a－d>0， 所以错误!（a－d)＝错误!·
［（a－b)＋(b－c)＋（c－d)]≥3错误!·3错误!＝9. 所以错误!＋错误!＋错误!≥错误!。 专题二 绝对值三角不等式的应用
绝对值三角不等式指的是｜|a|－｜b｜｜≤|a±b|≤|a｜＋｜b|。这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等
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式恒成立问题及不等式的证明．
[例2］ 求函数y＝｜x－2|＋｜x＋5｜的最小值． 解：y＝|x－2|＋｜x＋5｜≥｜（x－2)－(x＋5)|＝7. 当且仅当（x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2时等号成立, 故函数的最小值为7. 归纳升华
绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握,如下面的式子：
｜a｜－|b|≤｜｜a|－|b｜|≤|a＋b｜≤|a＋b|.
我们较为常用的形式是｜a|－|b｜≤|a＋b|≤｜a｜＋｜b|，但不要认为只能如此,事实上，|a＋b|是不小于｜a|－｜b｜的．
［变式训练］ 设函数f(x）＝|x－t｜＋错误!（t≠0），若m＝2，是否存在实数x，使得
f（x)＝错误!成立，说明理由．
解：函数f(x）＝|x－t｜＋错误!≥ 错误!＝错误!＝|t｜＋错误!≥2。 因为m＝2，所以错误!＝1＜2。 所以满足条件的实数x不存在． 专题三 绝对值不等式的解法
解不等式的基本思想是转化、化归,不等式的性质是实现“转化\的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组）或一元二次不等式(组)来求解.而解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的常用方法有：（1)几何意义，(2）两端平方，（3）零点分段法,(4）绝对值定义。
［例?］ (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|。 (1)求不等式f（x)≥1的解集；
(2)若不等式f（x）≥x－x＋m的解集非空，求m的取值范围。 解:(1)f（x)＝错误!
当x＜－1时，f（x）≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f（x)≥1，得2x－1≥1， 解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f（x）≥1，解得x＞2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
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(2)由f（x）≥x－x＋m，得
m≤｜x＋1|－｜x－2｜－x2＋x.
而｜x＋1|－|x－2｜－x＋x≤|x｜＋1＋|x|－2－x＋｜x｜＝－错误!错误!＋错误!≤
错误!，
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且当x＝错误!时，|x＋1|－|x－2｜－x＋x＝错误!， 故m的取值范围为错误!. 归纳升华
对于形如|x－a｜＋|x－b｜≥c，｜x－a｜＋｜x－b|≤c的不等式，可用零点分段法求解,其操作方法是,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.
［变式训练] 解不等式｜x＋2|＋｜1－x｜＜x＋4。 解:原不等式为｜x＋2｜＋｜x－1|＜x＋4。 所以可把全体实数分为三部分：
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x＜－2，－2≤x＜1,x≥1。
于是原不等式的解集是下面三个不等式组的解集的并集： （1)
｛x＜－2，，－x－2＋1－x＜x＋4得解集为?
.
(2）错误!得－1＜x＜1。 (3)错误!得1≤x＜3。
所以原不等式的解集是｛x｜－1＜x＜3}． 专题四 数形结合思想
包含“以形助数”和“以数辅形\两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．
［例4］ 解不等式｜x＋1|＋|x｜＜2. 解：法一：由绝对值的几何意义知，
｜x＋1｜表示数轴上点P(x)到点A(－1)的距离，|x｜表示数轴上点P（x）到点O(0)的距离．
由条件知这两个距离之和小于2.
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