章末检测
一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( ) A．i∈S C．i3∈S 答案 B
2．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
?m2＋m＋1＝3
解析 因为z1＝z2，所以?2，解得m＝1或m＝－2，
?m＋m－4＝－2所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
m＋ni
3．(2013·天津改编)已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则＝( )
m－niA．－1 C．－i 答案 D
m＋ni1＋i?1＋i?2
解析 由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，∴m＝1且n＝1.则＝＝2＝i.
m－ni1－ia－i
4．已知a是实数，是纯虚数，则a等于( )
1＋iA．1 C．2 答案 A
a－i?a－i??1－i??a－1?－?a＋1?i
解析 ＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.
21＋i?1＋i??1－i?5．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于( ) A．－2＋i C．1－2i 答案 B
解析 ∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i， ∴y＝1，x＝2，∴x＋yi＝2＋i.
6．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( ) A．p＝－4，q＝5 C．p＝4，q＝－5 答案 A
解析 由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.
7．(2013·新课标Ⅰ)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( ) A．－4 C．4 答案 D
解析 因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝8．i是虚数单位，若A．－15 C．－3 答案 C
1＋7i?1＋7i??2＋i?
解析 ＝＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3.
52－i
9．(2013·广东)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( ) A．(2,4)
B．(2，－4)
|4＋3i|5?3＋4i?3454
＝＝25＝5＋5i，故z的虚部等于5，故选D. 3－4i3－4i
4B．－5 4D．5
B．p＝4，q＝5 D．p＝－4，q＝－5 B．2＋i D．1＋2i B．－1 D．－2 B．1 D．i
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 B．i2∈S 2D．i∈S
1＋7i
＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是( ) 2－i
B．3 D．15
C．(4，－2) 答案 C
D．(4,2)
2＋4i
解析 z＝i＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是( ) A．2 C．4 答案 B
解析 f(n)有三个值0,2i，－2i. 二、填空题
11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________． 答案 (3,4)
m2－4m<0?
解析 ∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴?2，解得3 ?m－m－6>012．(2013·天津)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________. 答案 1＋2i 解析 由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，即a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i. 13．下列说法中正确的序号是________． ?2x－1＝y ①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有?； ?1＝－?3－y?②2＋i>1＋i； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数； ④若一个数是实数，则其虚部不存在； 1 ⑤若z＝i，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤ ?2x－1＝y 解析 由y∈?CR，知y是虚数，则?不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原 ?1＝－?3－y?1 点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝i3＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确． 14．下列是关于复数的类比推理： ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； ②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数z的性质|z|2＝z2； ③已知a，b，∈R，若a－b＞0，则a＞b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，则z1＞z2； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义． 其中推理结论正确的是________． 答案 ①④ 三、解答题 15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时， (1)z是实数？(2)z是纯虚数？ ?m2－2m－2>0 解 (1)要使复数z为实数，需满足?2，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数． ?m＋3m＋2＝0?m2－2m－2＝1 (2)要使复数z为纯虚数，需满足?2， ?m＋3m＋2≠0解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数． ?1＋i?n?1－i?n ?＋??(n∈N)，求集合{x|x＝f(n)}中元素的个数． 16．设f(n)＝? ?1－i??1＋i?解 ∵ 1＋i1－i ＝i，＝－i，∴f(n)＝in＋(－i)n.设k∈N. 1－i1＋i B．3 D．无数个 当n＝4k时，f(n)＝2， 当n＝4k＋1时，f(n)＝i4k·i＋(－i)4k·(－i)＝0， 当n＝4k＋2时，f(n)＝i4k·i2＋(－i)4k·(－i)2＝－2， 当n＝4k＋3时，f(n)＝i4k·i3＋(－i)4k·(－i)3＝0， ∴{x|x＝f(n)}中有三个元素． 17．(2013·山东德州期中)已知z＝1＋i，a，b为实数． (1)若ω＝z2＋3z－4，求|ω|； z2＋az＋b(2)若2＝1－i，求a，b的值． z－z＋1 解 (1)因为ω＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，|ω|＝?－1?2＋?－1?2＝2. z2＋az＋b?1＋i?2＋a?1＋i?＋b (2)由条件2＝1－i，得＝ z－z＋1?1＋i?2－?1＋i?＋1?a＋b?＋?a＋2?i 1－i.即＝1－i i ?a＋b＝1?a＝－1 ∴(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，∴?，解得?. ?a＋2＝1?b＝21 18．设z1是虚数，z2＝z1＋z是实数，且－1≤z2≤1. 1 (1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围； 1－z1 (2)若ω＝，求证：ω为纯虚数． 1＋z1 a??b?11?a＋b－(1)解 设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z2＝z1＋z＝a＋bi＋＝?＋?i. a2＋b2?a2＋b2?a＋bi?1???因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a. 11?11?由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－2≤a≤2，即z1的实部的取值范围是?－2，2?. ??1－z11－a－bi1－a2－b2－2bi (2)证明 ω＝＝＝＝ 1＋z11＋a＋bi?1＋a?2＋b2－ b11 i.因为a∈[－2，2]，b≠0，所以ω为纯虚数． a＋1 模块检测模块检测 一、选择题 1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A．完全归纳推理 C．类比推理 答案 B 解析 由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B. 2．(2013·浙江)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)( ) A．－3＋i C．－3＋3i 答案 B 解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i，故选B. 3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( ) A．10 10 C．ln 10＋ln 10 答案 B 1 解析 ∵f′(x)＝10xln 10＋xln 10，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B. 4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( ) A．大前提 C．推理形式 答案 A 5．观察下列数表规律 B．小前提 D．没有出错 B．10ln 10＋lg e D．11ln 10 B．－1＋3i D．－1＋i B．归纳推理 D．演绎推理 则数2 007的箭头方向是( ) 2 007→A.↑ ↑C．→2007 答案 D 解析 因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n－1)·4?n＝502∈N*.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→an，故选D. 6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为( ) ?a＝3?a＝－4?A.或? ?b＝－3?b＝11 ↓ B．2 007→ →2 007D．↓ ?a＝－4B．? ?b＝11 ?a＝－1C．? b＝5?答案 B D．以上都不对 ?3－2a－b＝0?a＝3?a＝－4解析 ∵f′(x)＝3x－2ax－b，∴?，解得?或?.经检验a＝3，b＝－3不合题意，应舍去． 2 ?1－a－b＋a＝10?b＝－3?b＝11 2 7．给出下列命题： ①?adx＝?bdt＝b－a(a，b为常数且a ?b?a②?0－1x2dx＝?1x2dx； ??0 ③曲线y＝sin x，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2.其中正确命题的个数为( ) A．0 C．2 答案 B 解析 ?bdt＝b－a≠?adx＝a－b，故①错．y＝x2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对 ?a?b于③有S＝2?πsin xdx＝4.故③错．故选B. ?0 AG 8．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则GD＝2”．若把该结论推广到空间，AO 则有结论：在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则OM等于( ) A．1 C．3 答案 C AGAO 解析 面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，GD＝2类比OM＝3，故选C. 1 9．曲线y＝e2x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 9A.2e2 C．2e2 答案 D 11 解析 ∵y′＝2e2x， 11∴y＝e2x在(4，e2)处的切线斜率为2e2. 1 ∴过点(4，e2)的切线方程为y＝2e2x－e2， 它与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)， 1 ∴S＝2×2×e2＝e2.故选D. 10．(2013·湖北)已知a为常数，函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则( ) 1 A．f(x1)＞0，f(x2)＞－2 1 B．f(x1)＜0，f(x2)＜－2 1 C．f(x1)＞0，f(x2)＜－2 1 D．f(x1)＜0，f(x2)＞－2 答案 D 解析 函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则f′(x)＝ln x－2ax＋1有两个零点，即方程ln x＝2ax－1有两个1 根，由数形结合易知0＜a＜2且0＜x1＜1＜x2.因为在(x1，x2)上f(x)递增，所以f(x1)＜f(1)＜f(x2)，即f(x1)＜－a＜f(x2)，所以1 f(x1)＜0，f(x2)＞－.故选D. 2二、填空题 11．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________. 答案 i 解析 设z＝a＋bi，则(a＋bi)(1＋i)＝1－i， 即a－b＋(a＋b)i＝1－i. B．4e2 D．e2 B．2 D．4 B．1 D．3 ?a－b＝1，?a＝0，由?解得?所以z＝－i，z＝i. a＋b＝－1，b＝－1.?? l2 12．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为16”，可猜想关于长方体的相应命题为________________． ?S?3 答案 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为?6?2 ?? ?S?解析 正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为?6???1?S?3 ?6?. ，通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为 2??2 13．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________． 答案 [3,12] 解析 因为f(x)有两个极值点x1，x2，所以f′(x)＝3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]， ?f′?－1?≤0，所以?f′?1?≤0， ?f′?2?≥0， f′?－2?≥0， ?3－4b＋c≤0，即?3＋4b＋c≤0，?12＋8b＋c≥0， 12－8b＋c≥0， 画出可行域如图所示．因为f(－1)＝2b－c，由图知经过点A(0，－3)时，f(－1)取得最小值3，经过点C(0，－12)时，f(－1)取得最大值12，所以f(－1)的取值范围为[3,12]． 14．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________． 1 答案 191 1 解析 设第n(n≥2且n∈N)行的第2个数字为a，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n， n * 19×2011 ∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1＝19＋18＋…＋1＋1＝2＋1＝191，∴a＝191. 20三、解答题 15．(2013·青岛二中期中)(1)已知z∈C，且|z|－i＝z＋2＋3i(i为虚数单位)，求复数z1 (2)已知z1＝a＋2i，z2＝3－4i(i为虚数单位)，且为纯虚数，求实数a的值． z2解 (1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入方程|z|－i＝z＋2＋3i， 得出x2＋y2－i＝x－yi＋2＋3i＝(x＋2)＋(3－y)i， ?x2＋y2＝x＋2?x＝3故有?，解得?， ?y＝4?3－y＝－13＋4iz ∴z＝3＋4i，复数＝＝2＋i，虚部为1. 2＋i2＋iz1a＋2i3a－8＋?4a＋6?iz1(2)z＝＝，且25z2为纯虚数， 23－4i8 则3a－8＝0，且4a＋6≠0，解得a＝3. 16．已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，求证： 1 (1)a2＋b2＋c2≥3；(2)a＋b＋c≤3. 121212 证明 (1)∵a2＋9≥3a，b2＋9≥3b，c2＋9≥3c， 1??1??1?22221? ∴?a2＋9?＋?b2＋9?＋?c2＋9?≥3a＋3b＋3c＝3.∴a2＋b2＋c2≥3. ?????? 1a·3≤2，1a＋3 1b·3≤2，1b＋3 1abc11 c·3≤2，三式相加得＋＋≤2(a＋b＋c)＋2＝1，∴a＋b＋c≤3. 333 1 c＋3 z 的虚部． 2＋i (2)∵
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