2020版高考数学第八章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题学案文（含解析）新人教A版

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围。 解 (1)设椭圆的标准方程为

y2x2

＋＝1(a>b>0)， a2b2由题意可知2a＝4，＝又a－b＝c，

解得a＝2，c＝3，b＝1， 故椭圆C的方程为＋x＝1。

4(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2

2

2

ca3， 2

y2

2

y??x2＋＝1，4由???y＝kx＋1

2

2

2

得(k＋4)x＋2kx－3＝0， 故x1＋x2＝－

2k3

，x1x2＝－2 ①， k＋4k＋4

2

设△OAB的面积为S， 由x1x2＝－

3

<0， k＋4

2

11

知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|

2212k＋32

＝?x1＋x2?－4x1x2＝2 2k＋42k＋3＝2＝?k＋3?＋1

2

2

22

k＋3＋

2

1

。

k2＋3

令k＋3＝t，则t≥3， 1

令y＝t＋，t≥3，

t1

因为y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，

t143

所以t＋≥，所以0

t23故△OAB面积的取值范围是?0，

??3??。 2?