【分析】由正六边形的性质得出∠AOM=60°，OA=4，求出∠OAM=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OM=OA=2即可．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，OM⊥AC， ∴∠AOM=60°，∠OMA=90°，OA=4， ∴∠OAM=30°， ∴OM=OA=2，
即这个正三角形的边心距OM为2； 故答案为：2．
17．如图，点A在双曲线
上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若
四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
【解答】解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线
上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3﹣1=2． 故答案为：2．
18．在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°，且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，此时∠CDB的度数为 30°
（2）在图2中，点P不与点B、M重合，线段CQ的延长线交射线BM于点D，则∠CDB的度数为（用含α的代数式表示） 90°﹣α ．
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B、M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=DQ，则α的取值范围是 45°＜α＜60° ．
【分析】（1）由条件可得出AB=BC=AC，再利用旋转可得出QM=MC，证得CB=CD=BA，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）由（1）可得BM为AC的垂直平分线，结合条件可以得出Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，由圆周角定理可得∠ACQ=∠APQ=α，可得出∠CDB和α的关系； （3）借助（2）的结论和PQ=QD，可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，代入可得出α的范围． 【解答】解：（1）如图1，∵BA=BC，∠BAC=60°， ∴AB=BC=AC，∠ABC=60°， ∵M为AC的中点，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC． ∵PQ由PA旋转而成， ∴AP=PQ=QM=MC． ∵∠AMQ=2α=120°，
∴∠MCQ=60°，∠QMD=30°， ∴∠MQC=60°． ∴∠CDB=30°． 故答案为：30°；
（2）如图2，连接PC，
∵由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD， 又∵PQ=PA， ∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上， ∴∠ACQ=∠APQ=α，
∴∠BAC=∠ACD， ∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°﹣α． 故答案为：90°﹣α；
（3）∵∠CDB=90°﹣α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°﹣2α， ∵点P不与点B，M重合， ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD， ∴2α＞180°﹣2α＞α， ∴45°＜α＜60°．
故答案为：45°＜α＜60°．
三、解答题（共7小题，满分66分）
2
19．已知关于x的一元二次方程x+2x+k﹣1=0有实数根，k为正整数． （1）求k的值；
2
（2）当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y=x+2x+k﹣1的图象的对称轴和顶点坐标．
2
【分析】（1）根据一元二次方程x+2x+k﹣1=0有实数根，可推△≥0，求出k的取值范围，得出k的数值即可；
2
（2）分别把k的值代入方程2x+4x+k﹣1=0，解得结果根据方程有两个非零的整数根进行分
析，确定k的值，进一步利用二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x+2x+k﹣1=0有实数根， ∴△=4﹣4（k﹣1）≥0． ∴k≤2．
∵k为正整数， ∴k=1，2；
2
（2）设方程x+2x+k﹣1=0的两根为x1，x2，则 x1+x2=﹣2，x1?x2=k﹣1，
2
当k=1时，方程x+2x+k﹣1=0有一个根为零；
2
当k=2时，方程x+2x+k﹣1=0有两个相同的非零实数根﹣1． k=2符合题意．
22
二次函数y=x+2x+1=（x+1），
对称轴是x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，0）．
2
20．在x□2x□1的空格中，任意填上“+”“﹣”，求其中能构成完全平方的概率（列出表格或画出树形图） 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中能构成完全平方的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，其中能构成完全平方的有2种情况， ∴其中能构成完全平方的概率为： =．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数y=的图象交于C、D两点，DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（﹣6，﹣1），DE=3．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
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