高数预备班讲义

公式：

叫半角公式

例 用半角公式计算

【答疑编号：10090113针对该题提问】 ① 解： ②

解： 反三角函数

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有时要问 若且，问A角有多大？大家知道， ∴ 。 （1）定义：若数－1≤a≤1 且sinA=a，就说角A是数a的反正弦，记作arcsina，其中

，即sinA=a <＝> A=arcsina。

注意：若A＝arcsina <＝> sinA=a（－1≤a≤1）

所以只有满足条件－1≤a≤1的数，arcsina才有意义。 例一 求下列反正弦值

【答疑编号：10100101 针对该题提问】 ①arcsin1

解：设A＝arcsin1

其中 ∴sinA=1 ∵在

时，只有

∴ ∴ ②

解：设A= 其中

∴

∵在时，只有

∴

∴ ③arcsin0

解：设A= arcsin0

其中

∴sinA=0 ∵sin0＝0 ∴A＝0

∴arcsin0＝0

④arcsin（ ）

解：设arcsin（ ）=A

∴sinA=

∵ ∴

∴arcsin

，就是角A是数a的反余弦，记作arccosa，

（2）定义：若数－1≤a≤1且cosA=a，其中

即cosA=a ＜＝＞ arccosa =A。

注意：∵a=cosA ∴只有－1≤a≤1时arccosa才会有意义。 例二 求下列反余弦值

【答疑编号：10100102针对该题提问】 ①arccos0

解：设arccos0＝A ∴cosA=0 ∵在 ∴ ∴ ②arccos1

解：设arccos1＝A ∴cosA=1 ∵在

时，只有cos0=1

时，

∴A=0

∴arccos1=0 ③arccos（－1）

解：设arccos（－1）＝A ∴cos=－1 ∴A=

∴arccos（－1）= ④ 解：设 ∴ ∵ ∴

=A

∴ ⑤arccos（

）

）＝A

解：设arccos（ ∴cosA=

∵

∴ ∴

例三 求下列表达式中，使反正弦或反余弦有意义的取值范围。 【答疑编号：10100103针对该题提问】 ① 解：当 ∴0≤≤2

时，arcsin（－1）有意义。

②arcsin

解：当－1≤ ∴－2≤－3≤2 1≤≤5

≤1时，arcsin有意义。

③arcsin

解：当－1≤ ∴－4≤2－1≤4 －3≤2≤5

≤1时，arcsin有意义。

（3）定义：若tanA=a，其中

即arctana＝A ＜＝＞ tanA=a 例四 计算下列反正切值。

【答疑编号：10100104针对该题提问】 ①arctan1

，就是角A是数a的反正切，记作arctana，

解：设arctan1＝A， ∴tanA=1 ∵ ∴A=

）

∴arctan1= ②arctan（

解：设arctan（ ∴tanA= ∵ ∴

）＝A，

∴

③arctan0

解：设arctan0＝A，

∴tanA=0 ∵tan0=0 ∴A=0

∴arctan0=0