2020年湖南省高考数学冲刺卷（文科）（3）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（ ） A．﹣2﹣2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．2+2i
2．集合U={0，1，2，3，4}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则?U（A∪B）=（ ） A．{0，1，3，4} B．{1，2，3} C．{0，4} D．{0}
3．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）
A．k≤3 B．k≤4 C．k≤5 D．k≤6 4．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若
=3，则
=（ ）
A．2 B． C． D．l或2
5．有四个关于三角函数的命题： p1：sinx=siny?x+y=π或x=y； p2：?x∈R，sin2+cos2=1；
p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosx﹣cosy； p4：?x∈[0，
]，
=cosx．
其中真命题是（ ） A．p1，p2 B．p2，p3
C．p1，p4 D．p2，p4
，且z=y﹣2x的最小值等于﹣2，则实数m的值
6．若实数x，y满足不等式组
等于（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）
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A．8π B．16π C．32π D．64π 8．若α∈（A．
B．﹣
，π），则3cos2α=sin（
C．
D．﹣
﹣α），则sin2α的值为（ ）
9．如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线
l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A．△OAB的面积为定值2 B．△OAB的面积有最小值为3 C．△OAB的面积有最大值为4
D．△OAB的面积的取值范围是[3，4] 11．已知 F1，F2分别是双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点p在双曲线的
右支上，且离心率为（ ） A．
+
B．
C．
（O为坐标原点），若|，则该双曲线的
+ D．
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12．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ） A．（
，0）
B．（
，2] C．[
，2）
D．[
，2]
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知函f（x）=
，则f（f（））= ．
14．已知||=1，||=2，∠AOB=， =+，则?= ．
15．某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进
行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是 ． 16．sin如图，在△ABC中，则cosC= ．
=
AB=2，BD=，点D在线段AC上，且AD=2DC，
，
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{an}中，a1=1，an+1=
（n∈N*）
（1）求证：{
}是等比数列，并求{an}的通项公式an；
，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（﹣1）
（2）数列{bn}满足bn=（3n﹣1）?
对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
18．某城市随机抽取一个月（30天）的空气质量指数API监测数据，统计结果如下：
[0，（50，（100，（150，（200，（250，（300，
API
50] 100] 150] 200] 250] 300] 350] 空气中度重污优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染
质量 染
2 4 5 9 4 3 3 天数
（Ⅰ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API的平均值；
（Ⅱ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为w）的关系式为：
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S=
若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率．
19．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，∠ABC=90°，且SA=AB，点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N． （1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）当AB=BC=1时，求三棱锥M﹣SAN的体积．
20．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=，虚轴长为2．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 21．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．
（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]（e为自然对数的底数） 上有实数解，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的 最小值．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲] 22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC． （1）求证：FB=FC；
（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
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