2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学（理）试
题
一、单选题
1．已知集合A?xx?x?2??0,B?yy?A．?1,2? C．?0,2? 【答案】B
【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 【详解】
解：A?xx?x?2??0??x|0?x?2?，
???x?1，则AIB?（ ）
?B．?0,2? D．?0,???
??B?yy?x?1??y|y?0?；
?AIB??x|0?x?2???0,2?． 故选：B． 【点睛】
考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题． 2．在复平面内，复数z?A．第一象限 【答案】C
【解析】化简复数为a?bi(a、b?R)的形式，可以确定z对应的点位于的象限． 【详解】 解：复数z?2?i(2?i)i???(2i?i2)??1?2i 2ii??2?i（i为虚数单位）对应的点位于（ ） iC．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
故复数z对应的坐标为??1,?2?位于第三象限 故选：C． 【点睛】
本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． ????3．函数y?f(x)在区间??,?上的大致图象如图所示，则f(x)可能是（ ）
?22?第 1 页 共 24 页
A．f(x)?lnsinx B．f(x)?ln?cosx? C．f(x)??sintanx D．f(x)??tancosx 【答案】B
【解析】根据特殊值及函数的单调性判断即可； 【详解】
解：当x?0时，sin0?0，lnsin0无意义，故排除A； 又cos0?1，则f(0)??tancos0??tan1?0，故排除D； 对于C，当x??0,故选：B 【点睛】
本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题.
4．已知数列?an?为等差数列，且a1?a6?a11?2?，则sin?a3?a9??的值为（ ）A．
?????时，tanx?0，所以f(x)??sintanx不单调，故排除C； 2?3 2B．?3 2C．
1 2D．?1 2【答案】B
【解析】由等差数列的性质和已知可得a6?公式计算可得． 【详解】
解：由等差数列的性质可得a1?a6?a11?3a6?2?，解得a6??a3?a9?2a6?4?， 32?4?，即可得到a3?a9?，代入由诱导
332?， 3第 2 页 共 24 页
?sin?a3?a9??sin故选：B． 【点睛】
4????3??sin??????sin?? 3332??本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
5．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A,C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB?6cm,BC?6cm,AC?10.392cm（其中3?0.866）.根据测2量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A．
? 3B．
? 4C．
? 2D．
2? 3【答案】A
【解析】由已知AB?BC?6，设?ABC?2?．可得sin??进而得出结论． 【详解】
解：依题意AB?BC?6，设?ABC?2?． 则sin??5.1963． ?0.866?725.196?0.866．于是可得?，7????3，2??2?． 3设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为?． 则??2???，
????3．
故选：A． 【点睛】
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本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．如图，AB?2是圆O的一条直径，C,D为半圆弧的两个三等分点，则
uuuruuuruuurAB?AC?AD?（ ）
??
A．
5 2B．4 C．2 D．1?3 【答案】B
【解析】连接CD、OD，即可得到?CAB??DOB?60?，AC?1，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】
解：连接CD、OD，
QC，D是半圆弧的两个三等分点， ?CD//AB，且AB?2CD，
?CAB??DOB?60?
所以四边形AODC为棱形，
uuuruuuruuuruuur1?ACgAB?ACgABcos?BAC?1?2??1
2uuuruuuruuuruuur?uuur?uuur1uuur??uuur?uuur1uuur??ABgAC?AD?ABg?AC??AC?AB???ABg?2AC?AB?
22??????uuuruuur1uuur2?2ACgAB?AB．
21?2?1??22?4
2??故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
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