2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练：《反比例函数》
1．如图，四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形，A（1，3），B（﹣3，﹣1），该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H，连接EC． （1）直接写出点C的坐标；
（2）判断点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的内部还是外部； （3）求四边形ECHO的面积；
（4）如果反比例函数的图象过点A，那么它是否一定过点D？请说明理由．
解：（1）∵A、C关于原点对称，A（1，3）， ∴C（﹣1，﹣3）．
（2）∵B、D关于原点对称，B（﹣3，﹣1）， ∴D（3，1），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有解得
，
，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣2， ∵x＝1时，y＝﹣1， ﹣12＜﹣1，
∴点（1，﹣1.2）在直线CD的下方， ∴点（1，﹣1.2）在矩形ABCD的外部．
（3）∵直线CD的解析式为y＝x﹣2， ∴H（0，﹣2），F（2，0），
∵E、F关于原点对称， ∴E（﹣2，0），连接OC，
∴S四边形ECHO＝S△EOC+S△OHC＝×2×3+×2×1＝4．
（4）一定过点D．
理由：∵过点A（1，3）的反比例函数的解析式为y＝， ∵x＝3时，y＝1，
∴D（3，1）也在反比例函数的图象上．
2．如图，直线y1═﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2＝（x＜0）的图象交于点P，过点P，作PB⊥x轴于点B，且AC＝BC （1）求反比例函数y2的解析式；
（2）反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．
解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴A（4，0），C（0，1）， 又∵AC＝BC，CO⊥AB，
∴O是AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2， ∴P的坐标是（﹣4，2），
将P（﹣4，2）代入y2＝，得m＝﹣8， 即反比例函数的解析式为y2＝﹣；
（2）假设存在这样的点D，使四边形BCPD为菱形， 如图，连接DC，与PB交于点E． ∵四边形BCPD是菱形， ∴CE＝DE＝4， ∴CD＝8，
将x＝﹣8代入反比例函数解析式y＝﹣，得y＝1， ∴D的坐标是（﹣8，1），
即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形， 此时D的坐标是（﹣8，1）．
3．如图，一次函数y1＝﹣x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点．已知：点B的坐标为（，﹣2）． （1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）点M在CA延长线上，且AM＝AC，连接OM，OB，求△MOB的面积．
解：（1）∵反比例函数y2＝（k≠0）的图象经过点B（，﹣∴k＝﹣2×＝﹣3， ∴反比例函数为y2＝﹣；
∵一次函数y1＝﹣x+b的图象经过点B（，﹣2）， ∴﹣2＝﹣×+b， 解得b＝﹣1， ∴y1＝﹣x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1， ∴D（0，﹣1）；
（2）连接OM，OB，
解方程组，可得，，
∴A（﹣3，1），B（，﹣2），
∵直线AB：y1＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣，
2）． ∴C（﹣，0）， ∴S△COD＝S△BOD， ∵MA＝AC， ∴S△MAO＝S△ACO，
∴S△MOB＝2S△AOD＝2××|yD|×|xA|＝2××1×3＝3．
4．已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）． （1）求正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B，过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．
解：（1）∵正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）． ∴2＝3a，2＝ ∴a＝，k＝6
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