2011年广州市高二数学竞赛试题

2011年广州市高二数学竞赛试题

2011．5．15 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．

1．已知函数f?x??x3?sinx?1?x?R?，若f(a)?2，则f(?a)的值为( )． A．?2 B．?1 C．0 D．1

2．已知数列{an}的通项公式an?log2有（ ）．

A．最大值15 B．最小值15 C．最大值16 D．最小值16

3．如图所示的程序框图，若输入n?5，则输出的n值为（ ）．

开始

4．设a?sin(sin2011o),b?sin(cos2011o),c?cos(sin2011o)，则a,b,c的大小关系是 ( )． A．a?b?c B．b?a?c C．c?b?a D．c?a?b

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

5．若过定点M??1,0?且斜率为k的直线与圆x?4x?y?5?0在第一象限内的部分有交点，则k的

22nn?N*?,设其前n项和为Sn，则使Sn??4成立的自然数n?n?1输入n n?n?2 f?x??xn 结束 否 （fx）在（0，+∞）上单调递减？ C．?1

是 输出n A．3 B．1

D．?3

取值范围是 * ．

P，则点P到点A的距离不大于1的概率为 6．在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1内任取一点

* ．

7．在?ABC中，M是BC的中点，AM?1，点P在AM上且满足AP?2PM，则PA?PB?PC等于 * ．

8．在△ABC中，若tanAtanB?1，则sin?C?

9．在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若不等式(x?a)?(x?a)?1对任意实数x成 立，则a的取值范围是 * ．

10．面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai?i?1,2,3,4?，此四边形内任一点P到第i条边的距

4a1a2a3a42S???k，则?(ihi)?离记为hi(i?1,2,3,4)，若?．

1234ki?1?????? * ． 12???类比以上性质，体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Si(i?1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个

4S1S2S3S4????K，则?(iHi)? * ． 面的距离记为Hi(i?1,2,3,4)，若1234i?1

三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本小题满分15分）

已知向量a??sinx,cosx?，b??6sinx?cosx,7sinx?2cosx?，设函数f?x??a?b?2． （1）求函数f?x?的最大值，并求取得最大值时x的值；

（2）在A为锐角的?ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f?A??4且?ABC的面积

为3，b?c?2?32，求a的值．

12．（本小题满分15分）

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， AC＝AD＝CD＝DE＝2a，AB＝a，F为CE的中点．

A （1）求证BF⊥平面CDE； （2）求多面体ABCDE的体积；

（3）求平面BCE和平面ACD所成的锐二面角的大小． C B

F D E

13．（本小题满分20分）

x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F2(3,0)，离心率为e．

ab（1）若e?3，求椭圆的方程； 2（2）设直线y?kx与椭圆相交于A，B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点． 若坐标原点O在

以MN为直径的圆上，且

14．（本小题满分20分）

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有

23，求k的取值范围． ?e?22Sk3??Sk?成立．

3

15．（本小题满分20分）

定义在R上的函数f(x)?（1）求a、b的值；

（2）设曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线l与y轴的交点为(0,t)，求实数t的取值范围．

x?b(a,b?R且a?0） 是奇函数，当x?1时，f(x)取得最大值． 2ax?12011年广州市高二数学竞赛试题

参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，

如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内

容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：每小题6分，满分24分．

1．C 2．D 3．C 4．B