2011年广州市高二数学竞赛试题

当且仅当ax?111即x? 时，f?x?取得最大值． xa2a?1?1， 即a?1． ax……①， x2?1（2）依题意得f(x)?1?x2……② f'(x)?22(1?x)又∵曲线f(x)?x在(x0,f(x0))处切线方程为 x2?1y?f(x0)?f'(x0)(x?x0)，

切线与y轴交于点(0,t)，

∴t?f(x0)?f'(x0)(0?x0)，化简得t??x0f'(x0)?f(x0)，

32x0①②代入化简得t?,x0?R． 22(1?x0)2223226x0(1?x0)?2x0?2(1?x0)?2x02x0(3?x0)(3?x0)又∵t'?， ?22223[(1?x0)](1?x0)令t'?0，解得x0??3，列表如下

x0 ( ??,?3) t' — ↘ 3 0 极小值 (?3,3) ＋ ↗ 3 0 极大值 (3,??) － ↘ t 、 32x0?0． 当x0?0时，t?22(1?x0)32x0∴x0?3时，函数t?,x0?R取得唯一的极大值，也是最大值． 22(1?x0)tmax3????1?3???????2?322?33．、 832x0?0 当x0?0时，t?22(1?x0)

32x0∴x0??3时，函数t?,x0?R取得唯一的极小值，也是最小值． 22(1?x0)tmin????1??3???????2??3322??33． 8∴t的取值范围是??

?3333?,?． 8??8