课下层级训练(十五) 变化率与导数、导数的运算
[A级 基础强化训练]
1．若f(x)＝xcos x，则函数f(x)的导函数f′(x)等于( ) A．1－sin x C．sin x＋xcos x
B．x－sin x D．cos x－xsin x
【答案】D [f(x)＝xcos x，则函数f(x)的导函数f′(x)＝cos x－xsin x．]
2．(2019·山东济宁检测)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( ) A．1 C．3
B．2 D．4
【答案】B [由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.] 3．曲线y＝xeA．2e C．2
【答案】C [∵y＝xe
0
0
x－1
在点(1，1)处切线的斜率等于( )
B．e D．1
x－1
，∴y′＝e
x－1
＋xe
x－1
.
∴k＝y′|x＝1＝e＋e＝2.]
4. (2019·陕西西安月考)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为( ) A．4 C．2
B．3 D．1
【答案】B [f′(x)＝aln x＋a，∵f′(1)＝3，∴a＝3.] 5．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A．e 1C． e
B．－e 1D．－
e
1
【答案】C [y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为yx0
111－y0＝(x－x0)，又切线过点(0，0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，所以k＝y′|x＝x0＝＝.] x0x0e6．(2019·山东泰安模拟)若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋
2
b＝( )
A．－1 C．1
B．0 D．2
【答案】C [依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0
1
＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.]
7．(2019·山东德州联考)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝ae＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是( ) A．e C．1
xxB．2e D．2
【答案】C [由函数的解析式可得y′＝ae＋1，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝aex0＋1.令aex0＋1＝2可得
x0＝ln ，则函数在点(x0，aex0＋x0)，即?ln ，1＋ln ?处的切线方程为y－1－ln ＝2?x－ln ?，整理
a?a?aa??a11
可得2x－y－ln ＋1＝0.结合题中所给的切线2x－y＋1＝0，得－ln ＋1＝1，∴a＝1.]
1
?
1
1?
1
?
1?
aa8．曲线y＝
xx－2
在点(1，－1)处的切线方程为________________.
2x－2
，所以在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以在点
【答案】y＝－2x＋1 [由题意可得：y′＝－(1，－1)处的切线方程为：y＝－2x＋1.]
2π
9．(2019·山东邹城月考)曲线y＝－2sin x在x＝处的切线的倾斜角大小为________.
3
π?π?【答案】135° [函数的导数f′(x)＝－2cos x，则当x＝时，f′??＝－1，即k＝tanα＝－1，则α3?3?＝135°.]
10．(2019·山东淄博月考)若曲线y＝ax－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 111
【答案】 [由题意得y′＝2ax－，∵在点(1，a)处的切线平行于x轴，∴2a－1＝0，得a＝.]
2x2
[B级 能力提升训练]
11．(2019·山东临沂联考)已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为( ) A．2 C．6
B．4 D．8
2
【答案】B [∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2，∴f′(1)＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.]
12．已知函数f(x)＝aln x＋bx的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为( ) A．－1 C．3
B．1 D．－3
2
【答案】D [由已知可得P(1，1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)＝1，即aln 1＋b＝1，解得b＝1，所以
2
af(x)＝aln x＋x2，故f′(x)＝＋2x. 则函数f(x)的图象在点P(1，1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，
x因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.]
13．(2019·辽宁阜新月考)已知曲线y＝xln x的一条切线为y＝2x＋b，则实数b的值是________. 【答案】－e [设切点为(x0，x0ln x0)，对y＝xln x求导数，得y′＝ln x＋1，∴切线的斜率k＝ln x0＋1，故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋b比较得ln x0＋1＝2且－x0＝b，解得x0＝e，故b＝－e.]
π??0， 14．已知函数f(x)＝ln x＋tan α， α∈??的导函数为f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x02??
满足x0<1，则α的取值范围为__________.
111?ππ?【答案】?，? [∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，由f′(x0)＝f(x0)，得＝ln x0＋tan α，∴tan α＝
xx0x0?42?
π?1??ππ?－ln x0.又0
2?2?x0x0??4
1
15．(2019·四川成都质检)已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________________.(用“<”连接) 【答案】(1)1 (2)h(0) 2 2 g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx＋2ex＋m＝x， 11 故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0， 231213 所以f(x)＝x＋c，g(x)＝x＋n， 23 1121 由f(1)＝1，得c＝，则f(x)＝x＋，故f(－1)＝1. 2221213 (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x－x＋c－n， 235 则有h(－1)＝＋c－n，h(0)＝c－n， 6 2 2 3 h(1)＝＋c－n，故h(0) 16 4
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