2019年
11．(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________． 答案 8π
12
解析 在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA＝8，
2解得SA＝4.
设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30°， 所以r＝23，h＝2，
1122
所以圆锥的体积V＝πr·h＝π×(23)×2＝8π.
33
12．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且AB＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积是________． 答案 8π
解析 如图PA，PB，PC两两垂直，设PC＝h，
则PB＝BC－PC＝7－h，
222PA＝AC2－PC2＝4－h2，
由PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB， 得PC⊥平面PAB，∴PC⊥AB，
即PA＋PB＝AB，∴4－h＋7－h＝5，
解得h＝3，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3， ∴以PA，PB，PC为棱构造一个长方体,则这个长方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球的半径为R＝∴外接球的表面积为S＝4πR＝4π×(2)＝8π.
B组 能力提高
13．若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
2
2
2
2
2
2
2
1＋4＋3
＝2， 2
2019年
81π81π101π101πA. B. C. D.
520520答案 C
解析 根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，如图所示，
平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O为四棱锥外接球的球心，
3＋3－4145在△PAD中，cos∠APD＝＝，则sin∠APD＝，
2×3×3992PF＝
49595
＝＝，PF＝，
sin∠APD45510
9
955
＝， 1010
2
2
2
ADPE＝9－4＝5，OH＝EF＝5－BH＝
1
16＋4＝5， 2
OB＝OH2＋BH2＝
5505＋5＝， 10010
505101π
所以S＝4π×＝.
1005
14．(2018·龙岩质检)如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为( )
2019年
A．(1,2) C．(0,2] 答案 D
B．(1,2] D．(0,2)
解析 设四棱锥一个侧面为△APQ，∠APQ＝x，过点A作AH⊥PQ，
1AC－PQ22－PQ则AH＝PQ×tan x＝＝
2221
＝2－PQ，
2
222tan x∴PQ＝，AH＝，
1＋tan x1＋tan x1
∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH
2＝2×∵S＝＝
222tan x8tan x?π，π?，
×＝?2，x∈?1＋tan x1＋tan x?1＋tan x??42?8tan x8tan x 2＝2
?1＋tan x?1＋tanx＋2tan x8≤＝2， 2＋2
＋tan x＋28
1tan x?当且仅当tan x＝1，即x＝π时取等号?， ??4??
而tan x>0，故S>0，
∵S＝2时，△APQ是等腰直角三角形，
顶角∠PAQ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥， ∴S的取值范围为(0,2)，故选D.
15．在棱长为2的正四面体P－ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且PD＝2DN，则三棱锥D－MBC的体积为________． 答案
2
9
解析 由题意得VD－BMC＝VM－BDC，
AN＝22－12＝3，DN＝×3＝
所以AD＝
133. 3
?3?－?2
?3?226
?＝3. ?3?
2019年 1266所以三棱锥M－BDC的高为×＝. 2331?33?
因为S△BCD＝×?×22?＝.
3?4?31362
所以VD－BMC＝VM－BDC＝××＝.
3339
16．(2018·衡水金卷信息卷)在正三棱锥A－BCD中，M，N分别是AB，BC上的点，且MN∥AC，AM＝5MB，MD⊥MN，若侧棱AB＝1，则正三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________． 答案 3π
解析 设底面边长为a，则在△BCD中，
BN＝BC＝a，∠DBN＝，
312222
由余弦定理，得DN＝BD＋BN－2BD·BN·cos∠DBN＝a，
36∴DN＝
31a. 6
2
1616π3
2－a同理，在△ABD中，cos∠BAD＝，
25
在△AMD中，AM＝，DM＝
611
∵MD⊥MN，MN＝AC＝，
66
521
a＋， 636
DM2＋MN2＝DN2，
52113122
即a＋＋＝a，∴a＝2，a＝2. 6363636设A在底面BCD 上的射影为E，
26322则BE＝BCsin 60°×＝，AE＝AB－BE＝. 333设外接球的半径为R，则R＝?∴R＝
3
， 2
2
2
?3?22
－R?＋BE， ?3?
∴正三棱锥A－BCD的外接球的表面积为S＝4πR＝3π.
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