[A组 夯基保分专练]
1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．
(1)求证：AE⊥平面A1BD； (2)求二面角D-BE-B1的余弦值．
解：(1)证明：因为AB＝BC＝CA，D是AC的中点， 所以BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABC，所以平面AA1C1C⊥平面ABC， 所以BD⊥平面AA1C1C，所以BD⊥AE.
又在正方形AA1C1C中，D，E分别是AC，CC1的中点， 所以A1D⊥AE.又A1D∩BD＝D， 所以AE⊥平面A1BD.
(2)以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线，以该垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E(－1，－1，0)，B(0，0，3)，B1(0，→→→→
－2，3)，DB＝(0，0，3)，DE＝(－1，－1，0)，BB1＝(0，－2，0)，EB1＝(1，－1，3)，
设平面DBE的法向量为m＝(x，y，z)， →??m＝0?DB·?3z＝0
则?，即?，
→?－x－y＝0??m＝0?DE·令x＝1，则m＝(1，－1，0)，
→???BB1·n＝0?－2b＝0
设平面BB1E的法向量为n＝(a，b，c)，则?，即?，
→???a－b＋3c＝0?EB1·n＝0令c＝3，则n＝(－3，0，3)，
设二面角D-BE-B1的平面角为θ，观察可知θ为钝角， m·n－6
因为cos〈m，n〉＝＝，
|m||n|4
－6－6
所以cos θ＝，故二面角D-BE-B1的余弦值为.
44
2．(2019·成都第一次诊断性检测)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱π
形，∠ABC＝，PA⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．
3
(1)证明：PA∥平面BMD；
(2)当PA＝3时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图1，连接AC交BD于点O，连接MO.
因为M，O分别为PC，AC的中点， 所以PA∥MO.
因为PA?平面BMD，MO?平面BMD， 所以PA∥平面BMD.
(2)如图2，取线段BC的中点H，连接AH.
π
因为四边形ABCD为菱形，∠ABC＝，
3所以AH⊥AD.
以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(3，－1，0)，C(3，1，0)，P(0，0，3)，M(＝(
313→→
，，)，BC＝(0，2，0)，PC＝(3，1，－3)． 222
→?BC＝0，??m·?2y＝0
设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，由?得?，
→???3x＋y－3z＝0PC＝0?m·取z＝1，m＝(1，0，1)．
设直线AM与平面PBC所成角为θ，
313
|×1＋×0＋×1|→222|m·AM|42→
则sin θ＝|cos〈m，AM〉|＝＝＝. 7→7|m|·|AM|×2
4所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为
42. 7
313→，，)，所以AM222
3. (2019·高考天津卷)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
(1)求证：BF∥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
1
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长．
3
→→→
解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)．
→→→→
(1)证明：依题意，AB＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又BF＝(0，2，h)，可得BF·AB＝0，又因为直线BF?平面ADE，所以BF∥平面ADE.
→→→
(2)依题意，BD＝(－1，1，0)，BE＝(－1，0，2)，CE＝(－1，－2，2)．
→??n·BD＝0，??－x＋y＝0，
设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则?即?不妨令z＝1，可
→?－x＋2z＝0，?BE＝0，??n·→CE·n4→
得n＝(2，2，1)．因此有cos〈CE，n〉＝＝－. 9→
|CE||n|
4
所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为. 9
→?BD＝0，??m·?－x＋y＝0，
(3)设m＝(x，y，z)为平面BDF的法向量，则?即?不妨令y＝1，
→?2y＋hz＝0，?BF＝0，??m·2
可得m＝(1，1，－)．
h
|m·n|
＝|m||n|
3由题意，有|cos〈m，n〉|＝
?4－2??h?
18
＝，解得h＝，经检验，符合题意．
743
2＋2h
8
所以，线段CF的长为. 7
4．(2019·东北四市联合体模拟(一))如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．
(1)证明：AE⊥PB；
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