中考数学压轴题复习题：二次函数(22)

2021年中考数学压轴题复习题：二次函数

1．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）． （1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n的值．

【分析】（1）直接利用△＝b2﹣4ac，进而利用偶次方的性质得出答案； （2）首先解方程，进而由|x1﹣x2|＝6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案． 【解答】（1）证明：由题意可得： △＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5） ＝1+25m2﹣10m+20m ＝25m2+10m+1 ＝（5m+1）2≥0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0， （x﹣5）（mx+1）＝0， 解得：x1＝﹣，x2＝5， 由|x1﹣x2|＝6， 得|﹣

﹣5|＝6，

；

解得：m＝1或m＝﹣

（3）解：由（2）得，当m＞0时，m＝1， 此时抛物线为y＝x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x＝2， 由题已知，P，Q关于x＝2对称， ∴

＝2，即2a＝4﹣n，

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∴4a2﹣n2+8n＝（4﹣n）2﹣n2+8n＝16．

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