1＝2－(2x?1)edx ＝2－(3e?1)+2e0?xx10=
＝3?3e?2e?2?1?e。 （7分）
7．解：
F?x,y??2x2?2xy?y2?0
?4x?2y?2xdydy?2y?0dxdxdy?2(2x?y)?2(x?y)?0dxdy2x?yx??????1dxx?yx?yxdy(x?y)?x?x?x(x?y)?x(1?)d2yx?ydx????22dx(x?y)(x?y)2(x?y)2?x22x2?2xy?y2?????033(x?y)(x?y)（7分）
8．解：
（3分）
y?1111x?1x?12x?13x?1n?[]?[1??()?()???(?1)n()??]
x?1x?12222221?2n?n(x?1)＝?(?1)， （5分） n?12n?0收敛区间为（-1， 3）. （7分）
9．解：
(
ysinx （5分） )'?cosxcos2xy?Ccosx?1（其中C为任意常数） （7分）
2210．解：直线x?1与圆x?y?4的交点是P1(1,3),P2(1,?3)， （2分） 右面部分绕y轴旋转一周的所得几何体的体积.
3V???32[(4?y)?1]dy （5分） ?3y3)?43? （7分） ＝2?(3y?30四．综合题：
11．解：?cosnxcosmxdx＝?[cos(n?m)x?cos(n?m)x]dx （3分）＝
2006 / 7
?????2, n?m?0?n?m?0 （10分） ??, ?0, n?m??4322．证明：证明：（1）考虑函数F(x)?ax?bx?cx?dx, （2分） F(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，F(0)?F(1)?0， （4分）
' 由罗尔定理知，存在??(0,1)，使得F(?)?0，即
F'(?)?f(?)?0，就是f(?)?4a?3?3b?2?2c??d?0,
所以函数f(x)在（0，1）内至少有一个根. （7分）
'''2（2）f(x)?F(x)?12ax?6bx?2c
2222 因为3b?8ac，所以(6b)?4(12a)(2c)?36b?96ac?12(3b?8ac)?0，
f'(x)保持定号，f(x)函数f(x)在（0，1）内只有一个根. （10分）
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