突破35 动量守恒中的临界问题
1. 常见类型
(1)滑块与小车的临界问题：滑块与小车是一种常见的相互作用模型．如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动．滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同．
(2)两物体不相碰的临界问题：两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v甲大于乙物体的速度v乙，即v甲>v乙，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v甲＝v乙．
(3)涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等．
(4)涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动．物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零．
2．求解动量守恒定律中的临界问题的关键
(1)寻找临界状态：看题设情景中有相互作用的两物体是否相距最近，避免相碰和物体开始反向运动等临界状态．
(2)挖掘临界条件：在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，即速度相等或位移相等．
【典例1】 如图所示，甲车质量m1 ＝ m，在车上有质量为M ＝2m 的人，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m2＝2m 的乙车正以v0 的速度迎面滑2v0
来，已知h ＝，为了使两车不可能发生碰撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离
2
g甲车的水平速度(相对地面)应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看作质点。
【答案】
1311v0≤v≤v0 53
【解析】 设甲车(包括人)滑下斜坡后速度为v1，由机械能守恒定律得 12
(m1＋M)v1＝(m1＋M)gh 2
得：v1＝2gh＝2v0
设人跳离甲车的水平速度(相对地面)为v，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v1′和v2′，则
人跳离甲车时：(M＋m1)v1＝Mv＋m1v1′ 即(2m＋m)v1＝2mv＋mv1′①
人跳上乙车时：Mv－m2v0＝(M＋m2)v2′
1311
故v的取值范围为v0≤v≤v0.
53
【典例2】如图所示，一质量M＝2 kg的带有弧形轨道的平台置于足够长的水平轨道上，弧形轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上静置一小球B.从弧形轨道上距离水平轨道高h＝0.3 m处由静止释放一质量
mA＝1 kg的小球A，小球A沿轨道下滑后与小球B发生弹性正碰，碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台．已
知所有接触面均光滑，重力加速度为g.求小球B的质量．(取重力加速度g＝10 m/s)
2
【答案】3 kg
【解析】：设小球A下滑到水平轨道上时的速度大小为v1，平台水平速度大小为v，由动量守恒定律有 0＝mAv1－Mv
1212由能量守恒定律有mAgh＝mAv1＋Mv
22联立解得v1＝2 m/s，v＝1 m/s
小球A、B碰后运动方向相反，设小球A、B的速度大小分别为v′1和v2.由于碰后小球A被弹回，且恰好追不上平台，则此时小球A的速度等于平台的速度，有
v′1＝1 m/s
由动量守恒定律得mAv1＝－mAv′1＋mBv2 121122
由能量守恒定律有mAv1＝mAv′1＋mBv2
222联立上式解得mB＝3 kg.
【典例3】如图所示，用长为R的不可伸长的轻绳将质量为的小球A悬挂于O点．在光滑的水平地面
3上，质量为m的小物块B(可视为质点)置于长木板C的左端静止．将小球A拉起，使轻绳水平拉直，将A球由静止释放，运动到最低点时与小物块B发生弹性正碰．
m (1)求碰后轻绳与竖直方向的最大夹角θ的余弦值．
(2)若长木板C的质量为2m，小物块B与长木板C之间的动摩擦因数为μ，长木板C的长度至少为多大，小物块B才不会从长木板C的上表面滑出？
【解析】：(1)设小球A与小物块B碰前瞬间的速度为v0，则有
m1mgR＝·v20
3
2
3
设碰后小球A和小物块B的速度分别为v1和v2，有
mmv0＝v1＋mv2
3
3
1m21m212·v0＝·v1＋·mv2 23232
设小物块B与长木板C相互作用达到的共同速度为v，长木板C的最小长度为L，有mv2＝(m＋2m)v
2
μmgL＝mv22－(m＋2m)v
1
212
由以上各式解得L＝.
6μ1
法二：由(1)可求得碰后小物块B的速度为v2＝2gR
2
R
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