第2课时 空间距离与立体几何中的最值(范围)问题(选用)
[基础题组练]
π
1．(2020·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝
2
AA1＝1，已知点G和E分别为A1B1和CC1的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点(不
包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为( )
A.?C.?
?5?
，1? ?5??25?
，1? ?5?
B.?D.?
?5?
，1? ?5??25?
，1? ?5?
解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，1??1??0)，E?0，1，?，G?，0，1?，
2??2??
F(x，0，0)，D(0，y，0)，
由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，
DF＝ x＋y＝
22
?2?1
5?y－?＋， ?5?5
2
1
由x＝1－2y>0，得y<，
2
21
所以当y＝时，线段DF长度的最小值是，
55
当y＝0时，线段DF长度的最大值是1，又不包括端点，故y＝0不能取，故选A. 2.(2020·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，AD⊥BC于点D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∠BPC＝θ，记函数f(x)＝tan θ，则下列表述正确的是( )
A．f(x)是关于x的增函数 B．f(x)是关于x的减函数 C．f(x)关于x先递增后递减 D．f(x)关于x先递减后递增
解析：选C.因为PA⊥平面ABC，AD⊥BC于点D，BC＝CD＝AD＝1，PD＝x，∠BPC＝θ， 所以可求得AC＝2，AB＝5，PA＝x－1，PC＝x＋1，BP＝x＋4， 所以在△PBC中，由余弦定理知
2PB2＋PC2－BC22x＋4
cos θ＝＝. 22
2BP·PC2x＋1x＋4
2
2
2
1（x＋1）（x＋4）x所以tanθ＝2－1＝－1＝2222.
cosθ（x＋2）（x＋2）
2
222
所以tan θ＝
＝x＋2
2
x12
≤
1
x＋
x2
x·
2
＝(当且仅当x＝2时取等号)，所以f(x)关24
x于x先递增后递减．
3.(2020·义乌市高三月考)如图，边长为2的正△ABC的顶点A在平面γ上，B，C在平面γ的同侧，点M为BC的中点，若△ABC在平面γ上的射影是以A为直角顶点的△AB1C1，则M到平面γ的距离的取值范围是________．
解析：设∠BAB1＝α，∠CAC1＝β，则AB1＝2cos α，AC1＝2cos β，BB1＝2sin α，
CC1＝2sin β，则点M到平面γ的距离d＝sin α＋sin β，又|AM|＝3，则|B1C1|＝
23－d，即cosα＋cosβ＝3－(sinα＋2sin αsin β＋sinβ)．也即sin αsin β11＝，所以d＝sin α＋sin β＝sin α＋≥2，因为sin α<1，sin β<1，所以22sin α11133
<1，所以 2sin α2222 3??答案：?2，? 2?? 4.(2020·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，在二面角A-CD-B中，BC⊥CD，BC＝CD＝2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB＝3.现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是________． →→→→ 解析：由题意得AD⊥DC，DC⊥CB， →→ 设平面ADC沿着CD进行翻折的过程中，二面角A-CD-B的夹角为θ，则〈DA，CB〉＝ 2 2 2 2 2 θ，因为AB＝AD＋DC＋CB， →2→2→2→2→→→→→→ 所以平方得AB＝AD＋DC＋CB＋2AD·DC＋2CB·AD＋2DC·CB， 设AD＝x，因为BC＝CD＝2，AB＝3， 所以9＝x＋4＋4－4xcos θ， 2 →→→→ x2－1 即x－4xcos θ－1＝0，即cos θ＝. 4x2 x2－1 因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤≤1， 4x???x－1≤4x?x－4x－1≤0即?2，即?2， ??x－1≥－4xx＋4x－1≥0?? 2 2 ?2－5≤x≤2＋5，则? ?x≥－2＋5或x≤－2－5. 因为x>0，所以5－2≤x≤5＋2， 即AD的取值范围是[5－2，5＋2]． 答案：[5－2，5＋2] 5.(2020·金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB＝ c→→ 2，AC·BD＝－3，设AD＝a，BC＝b，CD＝c，则的最小值为________． ab＋1 →→→22 解析：设AD＝a，CB＝b，DC＝c，因为AB＝2，所以|a＋b＋c|＝4?a→→22 ＋b＋c＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，又因为AC·BD＝－3，所以(a＋c)·(－b－c)＝－3?a·b＋b·c＋c·a＋c＝3， 2 2 a2＋b2＋22ab＋2 所以a＋b＋c＋2(3－c)＝4?c＝a＋b＋2，所以≥＝2，当且仅当aab＋1ab＋1 2 2 2 2 2 2 2 c2 ＝b时，等号成立，即的最小值是2. ab＋1 答案：2 6．(2020·温州十五校联合体期末考试)在正四面体P-ABC中，点M是棱PC的中点，点 N是线段AB上一动点，且AN＝λAB，设异面直线NM与AC所成角为α，当≤λ≤时，则 cos α的取值范围是________． 解析：设点P到平面ABC的射影为点O，以AO所在直线为y轴， →→ 1323 OP所在直线为z轴，过点O作BC的平行线为x轴，建立空间直角坐 标系O-xyz，如图．设正四面体的棱长为43， 则有A(0，－4，0)，B(23，2，0)，C(－23，2，0)，P(0，0，42)，M(－3，1，22)． →→ 由AN＝λAB，得N(23λ，6λ－4，0)． →→ 从而有NM＝(－3－23λ，5－6λ，22)，AC＝(－23，6，0)． →→|NM·AC|3－2λ57 所以cos α＝＝，设3－2λ＝t，则≤t≤. →→24λ2－4λ＋333|NM||AC|1 则cos α＝ 2 t2 ＝ t2－4t＋6 2 11313519 ，因为<≤≤，所以≤cos 37t53821?1?6??－4·＋1 ?t? t
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