专训1 矩形性质与判定的灵活应用(3)

专训1 矩形性质与判定的灵活应用

名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．

判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．

利用矩形的判定和性质解和差问题

1．如图①，在△中，＝，点P是上任意一点，⊥，⊥，⊥，垂足分别为E，F，D. (1)求证：＝＋.

(2)当点P在的延长线上时，其他条件不变．如图

②，，，之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．

(第1题)

利用矩形的判定和性质解面积问题

2．如图，已知点E是?中边的中点，连接并延长交的延长线于点F. (1)连接，，若∠＝2∠，求证：四边形为矩形；

(2)在(1)的条件下，若△是等边三角形，且边长为4，求四边形的面积．

(第2题)

利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形

3．【2016·吉林】如图，菱形的对角线，相交于点O，且∥，∥.求证：四边形是矩形．

(第3题)

利用直角三角形斜边上中线的性质判断直线位置关系

4．如图，已知∠＝∠＝90°，N，M分别是，的中点，判断与的位置关系，并说明理由．

(第4题)

答案

1．(1)证明：如图，作⊥交的延长线于点H.∵⊥，⊥，⊥，∴四边形是矩形．∴＝.

(第1题)

∵＝，∴∠＝∠C. ∵⊥，⊥， ∴∠＝∠＝90°. ∴∠＝∠. 又∵∠＝∠， ∴∠＝∠. ∵⊥，⊥， ∴∠＝∠＝90°. 又∵＝，

∴△≌△.∴＝. ∴＝＝＋＝＋， 即＝＋.

(2)解：不成立，＝＋.

理由：作⊥交的延长线于点H.与(1)同理可得＝，＝. ∴＝＋＝＋.

2．(1)证明：∵四边形为平行四边形，∴∥. ∴∠＝∠.

又∵点E为的中点，∴＝. 又∵∠＝∠， ∴△≌△.∴＝. 又∵∥，

∴四边形为平行四边形． ∴＝.

∵∠为△的外角， ∴∠＝∠＋∠. 又∵∠＝2∠， ∴∠＝∠.∴＝. ∴＋＝＋，即＝. ∴四边形为矩形．

(2)解：∵四边形是矩形， ∴⊥.

又∵△是等边三角形，且边长为4， ∴＝＝＝2. ∴＝＝2.

∴S矩形＝2×2＝4. 3．证明：∵∥，∥，

∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴⊥.∴∠＝90°. ∴四边形是矩形． 4．解：⊥.理由如下： 如图，连接，.在△中，

(第4题)

∠＝90°，N是的中点，

∴＝.同理可得＝.∴＝.∴△是等腰三角形． 在等腰三角形中， ∵M是的中点，∴⊥.