高三数学 名校试题分省分项汇编专题09 圆锥曲线(含解

2.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】在矩形ABCD中，|AB|=23，|AD|=2，E、F、G、H分别为矩形四条边的中点，以HF、GE所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系(如图所示)．若R、R′分别在线段0F、CF上，且

OROF?CR?CF?1. nx22(Ⅰ)求证：直线ER与GR′的交点P在椭圆?：+y=1上；

3(Ⅱ)若M、N为椭圆?上的两点，且直线GM与直线GN的斜率之积为并求△GMN面积的最大值.

2，求证：直线MN过定点；3

【答案】(?)详见解析；(??)直线MN过定点(0,-3),△GMN面积的最大值【解析】

23. 3试题分析：(?)先计算出E、R、G、R′各点坐标，得出直线ER与GR′的方程，解得其交点坐标

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又E(0,?1) 则直线ER的方程为y?nx?1 ② 323nn2?1由①②得P(2,2)

n?1n?123n2)2n2?124n2?(n2?1)2n?1?(2)??1 ∵

3n?1(n2?1)2(x2?y2?1上 ……………4分 ∴直线ER与GR?的交点P在椭圆?:3（Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设MN:x?t(?3?t?3)

t2t21不妨取M(t,1?),N(t,?1?) ∴kGM?kGN? ,不合题意……………5分

333②当直线MN的斜率存在时，设MN:y?kx?b M(x1,y1),N(x2,y2)

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|MN|?1?k2|x1?x2|，点G到直线MN的距离为d?41?k2

S13k2△GMN?2?82|MN|?d?2|x1?x2|?2(x1?x2)?4x1x2?43?1?3k2 b??3及??0知：3k2?8?0，令3k2?8?t(t?0) 即3k2?t2?8

3k2?81?3k2?tt2?9?1?1 当且仅当t?3时，?23……13分t?96S?GMN?max?3t- 7 -

∴∴由∴