直线与方程教案

课题名称: 直线与方程 考试要求：

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。 4．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。

5．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 知识要点：

一、倾斜角与斜率 知识点1：当直线l与x轴相交时， x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角?叫做直线l 的倾斜

角.

注意: 当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.

知识点2：直线的倾斜角?(??90?)的正切值叫做这条直线的斜率.记为k?tan?. 注意: 当直线的倾斜角??90?时，直线的斜率是不存在的 王新敞y2?y1. x2?x1知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜

率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2．

知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的

斜率互为负倒数，则它们互相垂直.

1即l1?l2?k1???k1k2??1 k2注意：1．l1//l2?k1?k2或l1,l2的斜率都不存在且不重合.

2．l1?l2?k1?k2??1或k1?0且l2的斜率不存在，或k2?0且l1的斜率不存在.

二、直 线 的 方 程

知识点6：已知直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k，则方程y?y0?k(x?x0) 为直线的点斜式方程.

注意：⑴x轴所在直线的方程是 ，y轴所在直线的方程是___________ ⑵经过点P0(x0,y0)且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是__________ ⑶经过点P0(x0,y0)且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是__________

知识点7：直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.直线y?kx?b叫做直线的

斜截式方程.

注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)且(x1?x2,y1?y2)，则通过这两点的直线方程为

y?y1x?x1?(x1?x2,y1?y2)，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. y2?y1x2?x1知识点3：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1?x2)的直线的斜率公式：k?王新敞王新敞知识点9：已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a?0,b?0，则直线l的方程为

xy??1，叫做直线的截距式方程. ab注意：直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距；直线与y轴交点（0,b）的

纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.

知识点10：关于x,y的二元一次方程Ax?By?C?0（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.

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注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线

（2）点(x0,y0)在直线Ax?By?C?0上?Ax0?By0?C?0 三、直线的交点坐标与距离

王新敞?Ax?B1y?C1?0知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组?1，

Ax?By?C?0?222若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.

22知识点12：已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则PP12?(x2?x1)?(y2?y1). 特殊地：P(x,y)与原点的距离为OP?x2?y2. d?知识点13：已知点P(x0,y0)和直线l:Ax?By?C?0，则点P到直线l的距离为：

Ax0?By0?CA2?B2.

知识点14：已知两条平行线直线l1Ax?By?C1?0，l2:Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为A?B知识点15：巧妙假设直线方程：

（1）与Ax?By?C1?0平行的直线可以假设成：Ax?By?C2?0（C1和C2不相等） （2）与Ax?By?C?0垂直的直线可以假设成：Bx-Ay+m=0

d?C1?C2王新敞22 （3）过l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线可以假设成A1x+B1y+C1+m(A2x+B2y+C2)=0(该方程不包括直线l2:)

知识点16：l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0垂直等价于：A1A2+B1B2=0(A1和B1不全为零；A2和B2不全为零；)

知识点17：中点坐标公式:

x?x1y?y1. A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(x,y),则x?2,y?222例题解析

例1.点(3,9)关于直线x?3y?10?0对称的点的坐标是（ ）. A．(?1,?3) B.(17,?9) C．(?1,3) D．(?17,9)

思考：

（1）点关于点的对称点如何求？ （2）线关于点的对称线如何求？ （3）线关于线的对称线如何求？

例2. 求经过直线3x?2y?6?0和2x?5y?7?0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.

例3．方程(a?1)x?y?2a?1?0(a?R)所表示的直线（ ）. A．恒过定点(?2,3) B．恒过定点(2,3) C．恒过点(?2,3)和(2,3) D．都是平行直线

例4．已知直线l1:x?ay?2a?2?0,l2:ax?y?1?a?0. ⑴若l1//l2，试求a的值； ⑵若l1?l2，试求a的值

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例5 .已知两直线l1:ax?by?4?0，l2:(a?1)x?y?b?0，求分别满足下列条件的a,b的值.

⑴直线l1过点(?3,?1)，并且直线l1与直线l2垂直；⑵直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1,l2的距离相等.

例6. 过点P(4,2)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点，当?AOB面积最小时，求直线l的方程.

巩固练习：

1．已知点(3,m)到直线x?3y?4?0的距离等于1，则m?（ ）.

33 D．3或? 332．已知P(3,a)在过M(2,?1)和N(?3,4)的直线上，则a? . A．3 B．?3 C．?3．将直线y??3(x?2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o，所得的直线方程是 . 4.方程(a－1)x－y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线( )

A.恒过定点(－2,3) B.恒过定点(2，3) C.恒过点(－2,3)和点(2，3) D.都是平行直线 5.点(3，9)关于直线x+3y－10=0对称的点的坐标是( )

A.(－1,－3) B.(17,－9) C.(－1,3) D.(－17,9) 6.两平行线l1、l2分别过点P1（1，0）与P2（0，5），

(1)若l1与l2距离为5，求两直线方程； (2)设l1与l2之间距离是d,求d的取值范围.

7．两平行直线l1,l2分别过点P1(1,0)和P(0,5)， ⑴若l1与l2的距离为5，求两直线的方程；

⑵设l1与l2之间的距离是d，求d的取值范围。

8.设直线l的方程为(m?2)x?3y?m,根据下列条件分别求m的值.⑴l在x轴上的截距为?2； ⑵斜率为?1.

9.(1)求证直线(2+m)x+(1－2m)y+4－3m=0,不论m为何实数，此直线必过定点.

(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程

王新敞

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直线与方程测试题

一、填空题

1．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是____________ 2．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是__________

3．直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为___________ 4．直线x - y + 3 = 0的倾斜角是_____________________ 5．直线kx?y?1?3k,当k变动时，所有直线都通过定点_______ 6．点（-1，2）关于直线y = x -1的对称点的坐标是________ 7．点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的距离是__________ 8.过点(?1,3)且平行于直线x?2y?3?0的直线方程为_________ 9．与直线l：3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为________

10．两平行直线x?3y?4?0与2x?6y?9?0的距离是_________ 11．直线mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为_____ 12．如果三条直线mx+y+3=0,x-y-2=0,2x-y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，

那么m的值可能是_______. 二、解答题

13.若a?N，又三点A(a，0)，B（0，a?4），C（1，3）共线，求a的值

14．若直线ax?2y?6?0和直线x?a(a?1)y?(a2?1)?0垂直，求a的值

15．?ABC中，点A?4,?1?,AB的中点为M?3,2?,重心为P?4,2?,求边BC的长

16. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。

17. 求经过两条直线l1:x?y?4?0和l2:x?y?2?0的交点，且分别与直线

2x?y?1?0（1）平行，（2）垂直的直线方程。

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