中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案

第三章 中值定理与导数的应用

(A)

1．在下列四个函数中,在??1,1?上满足罗尔定理条件的函数是( ) A．y?8x?1 B．y?4x2?1 C．y?2．函数f?x??1 D．y?sinx 2x1满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) x A．??2,2? B． ??2,0? C．?1,2? D．?0,1? 3．方程x5?5x?1?0在??1,1?内根的个数是 ( ) A．没有实根 B．有且仅有一个实根 C．有两个相异的实根 D．有五个实根 4．若对任意x??a,b?，有f??x??g??x?，则 ( ) A．对任意x??a,b?，有f?x??g?x? B．存在x0??a,b?，使f?x0??g?x0?

C．对任意x??a,b?，有f?x??g?x??C0(C0是某个常数) D．对任意x??a,b?，有f?x??g?x??C(C是任意常数) 5．函数f?x??3x5?5x3在R上有 ( )

A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点 6．函数f?x??2x3?6x2?18x?7的极大值是 ( ) A．17 B．11 C．10 D．9

7．设f?x?在闭区间??1,1?上连续，在开区间??1,1?上可导，且f??x??M，

f?0??0，则必有 ( )

A．f?x??M B．f?x??M C．f?x??M D．f?x??M 8．若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则 ( ) A．存在???0,1?，有f?b??f?a??f????b?a???b?a? B．存在???0,1?，有f?a??f?b??f??a???b?a???b?a?

1

C．存在???a,b?，有f?a??f?b??f?????a?b? D．存在???a,b?，有f?b??f?a??f?????a?b?

9．若a2?3b?0，则方程f?x??x3?ax2?bx?c?0( )

A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根

x2sin110．求极限limxx?0sinx时，下列各种解法正确的是 ( )

A．用洛必塔法则后，求得极限为0

B．因为lim1x?0x不存在，所以上述极限不存在

C．原式?limxx?0sinx?xsin1x?0 D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数y?2x1?x2，在 ( ) A．???,???单调增加 B．???,???单调减少 C．??1,1?单调增加，其余区间单调减少 D．??1,1?单调减少，其余区间单调增加

12．曲线y?ex1?x ( )

A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D．13．指出曲线y?x3?x2的渐近线 ( ) A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B．x?3为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D． 只有水平渐近线

214．函数f?x??x3??x2?1?13在区间?0,2?上最小值为 ( )

A．

7294 B．0 C．1 D．无最小值 15．求limx?ln?1?x?x?0x2 2

无拐点 ?11?16．求lim? ???x?0?ln??1?x?x?17．求lim61?2sinx

?cos3xx?12x18．求lim?1?xx?0?

1lnx???19．求lim??arctgx?x???2??

20．求函数y?x3?3x2?9x?14的单调区间。 21．求函数y?2ex?e?x的极值。 22．若x?0，证明ex?1?x/

x2?ln?1?x??x。 23．设x?0，证明x?2ln2x24．求函数y?的单调区间与极值。

x1?25．当a为何值时，y?asinx?sin3x在x?处有极值？求此极值，并说

33明是极大值还是极小值。

x2y226．求内接于椭圆2?2?1，而面积最大的矩形的边长。

ab27．函数y?ax3?bx2?cx?d?a?0?的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。

4x228．试证y?xsinx的拐点在曲线y?上。

4?x2229．试证明曲线y?x?1有三个拐点位于同一直线上。 x2?130．试决定y?kx2?3中的k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

(B)

1．函数f?x??38x?x2，则 ( )

3

??2 A．在任意闭区间?a,b?上罗尔定理一定成立

B．在?0,8?上罗尔定理不成立 C．在?0,8?上罗尔定理成立 D． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立

2．下列函数中在?1,e?上满足拉格朗日定理条件的是( ) A．ln?lnx? B．lnx C．

1 D．ln?2?x? lnx3．若f?x?为可导函数，?为开区间?a,b?内一定点，而且有f????0，

?x???f??x??0，则在闭区间?a,b?上必有 ( )

A．f?x??0 B． f?x??0 C．f?x??0 D． f?x??0 4．若f?x?在开区间?a,b?内可导，且对?a,b?内任意两点x1，x2恒有

2f?x2??f?x1???x2?x1?则必有( )

A．f??x??0 B．f??x??x C．f?x??x D．f?x??C(常数) 5．设limx?x0f?x?f??x?f?x?为未定型，则lim存在是lim也存在的 ( )

x?xx?x0g?x?0g??x?g?x? A．必要条件 B．充分条件

C．充分必要条件 D． 既非充分也非必要条件

6．已知f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且当x??a,b?时，有f??x??0，又已知f?a??0，则 ( )

A．f?x?在?a,b?上单调增加，且f?b??0 B．f?x?在?a,b?上单调减少，且f?b??0 C．f?x?在?a,b?上单调增加，且f?b??0

D．f?x?在?a,b?上单调增加，但f?b?正负号无法确定 7．函数y?xarctgx的图形，在 ( )

A．???,???处处是凸的 B．???,???处处是凹的 C．???,0?为凸的，在?0,???为凹的 D．???,0?为凹的，在?0,???为凸的

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