第七节 正弦定理和余弦定理
A组 基础题组
1.(2016兰州实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b=ac,c=2a,则cosC=( ) A.4
22
B.-4 2C.4 3
D.-4
3
2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有( ) A.无解
B.两解
C.一解
D.解的个数不确定
π
3.(2016河北武邑中学期中)△ABC中,c= 3,b=1,∠B=6,则△ABC的形状为( ) A.等腰直角三角形 C.等边三角形
B.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
π
1
4.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=4,BC边上的高等于3BC,则cosA=( ) A.
3 1010
B.10 10C.-10 D.-
103 1010
5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a- 3c)sinA,则角B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
6.在△ABC中,∠A=3,a= 3c,则??= .
7.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=4a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .
8.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10 3,且AB=5,AC=8,则BC等于 . 9.(2016武汉高三测试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+??=4cosC,b=1. (1)若A=90°,求△ABC的面积; (2)若△ABC的面积为2,求a,c.
1
31
1
2π
??
10.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB. (1)证明:A=2B;
(2)若△ABC的面积S=4,求角A的大小.
??2
B组 提升题组
11.(2015山东菏泽期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若acosB+ bcosA=csinC,S=3(b+c-a),则B=( )
41
2
2
2
A.90° B.60° C.45° D.30°
12.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sinA-cosA=2,则下列各式正确的是( ) A.b+c=2a
B.b+c<2a
C.b+c≤2a D.b+c≥2a
2
2
1
13.(2016临沂模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为 .
2
14.(2016十堰模拟)给出下列命题:
①若tanAtanB>1,则△ABC一定是钝角三角形; ②若sinA+sinB=sinC,则△ABC一定是直角三角形;
③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形. 以上命题中正确命题的序号为 .
15.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=. (1)求△ACD的面积; (2)若BC=2 3,求AB的长.
33
2
2
2
16.(2016东北育才五模)已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA= 3acosC. (1)求角C;
(2)若c= 21,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求△ABC的面积.
3
答案全解全析 A组 基础题组
1.B 由题意得,b=ac=2a,b= 2a,∴cosC=2.B ∵
??
2
2
??2+??2-??2??2+2??2-4??2
2????
=2??× 2a2 23
=-,故选B.
24
sin??sin??
=
??
,∴sinB=sinA=2sin45°,∴sinB=
??
18
??24
.又∵a 角,∴45° 3.D 根据余弦定理有1=a+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D. 4.C 解法一:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=3BC,则CD=3BC,AB=3BC,AC=3BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC= ????2+A??2-B??2 2????2???? 1 2 2 52 =25 B??2+B??2-B??299 2 52×BC×BC33=- 10,故选10 C. 解法二:过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在Rt△ADC 3 3 1 2 中,AC=3BC,sin∠DAC= π π 52 55 ,cos∠DAC=5,又因为∠B=4,所以cos∠BAC=cos ∠??????+ π 5 22 5 2 1032=-10,故选5 5π =cos∠DAC2cos4-sin∠DAC2sin4=532-4 ?? ?? ?? C. 2 2 2 5.A 由sin??=sin??=sin??及(b-c)2(sinB+sinC)=(a- 3c)sinA得(b-c)(b+c)=(a- 3c)a,即b-c=a- 3ac,所以a+c-b= 3ac,又因为cosB=6.答案 1 解析 在△ABC中,∠A=3,∴a=b+c-2bccos3,即 a=b+c+bc.∵a= 3c,∴3c=b+c+bc,∴b+bc-2c=0,∴(b+2c)(b-c)=0,∴b-c=0,∴b=c,∴??=1. 7.答案 -4 解析 由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=2c,代入b-c=4a,整理得a=2c,故cosA=8.答案 7 4 3 1 ??2+??2-??2 2???? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ??2+??2-??2 2???? ,所以cosB=,所以B=30°. 32 2π 222 2π ?? = 92 ??+??2-4??24 3 22c2c 2 =-4. 1
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