高中数学常用公式及结论[1]

高中数学

常用公式及结论 王新敞

高中数学常用公式及结论

1. 元素与集合的关系:x?A?x?CUA,x?CUA?x?A.??A?A?? 2.德摩根公式 :CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB. 3.包含关系：

A?B?A?B?A?A?B?B?CUB?CUA?A?CUB???CUA?B?R

4.元素个数关系：

card(A?B)?cardA?cardB?card(A?B) card(A?B?C)?cardA?cardB?cardC

?card(A?B)?card(B?C)?card(C?A)?card(A?B?C).

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2?1个；非空子集有2?1个；非空的真子集有2?2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);

(2)顶点式f(x)?a(x?h)2?k(a?0);（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式） (3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为

nnnn(x1,0),(x2,0)时，设为此式）

（4）切线式：f(x)?a(x?x0)2?(kx?d),(a?0)。（当已知抛物线与直线y?kx?d相切且切点的横坐标为x0时，设为此式）

7.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式

N?f(x)?M?[f(x)?M][f(x)?N]?0?2?f(x)?Nf(x)?N?0??.

M?f(x)?f(x)?M8.方程ax?bx?c?0(a?0)在(k1,k2)内有且只有一个实根,等价于f(k1)f(k2)?0或

b??k2?k1??。 2a?2????b?4ac?09.闭区间上的二次函数的最值

2 二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b处及区间的2a两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若x??bb??p,q?，则f(x)min?f(?),f(x)max?max?f(p),f(q)?； 2a2ab??p,q?，f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2ab??p,q?，则f(x)min?min?f(p),f(q)?， (2)当a<0时，若x??2ax??新疆奎屯市第一高级中学 wxckt@126.com 第 1页（共30页）

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常用公式及结论 王新敞

b??p,q?，则f(x)max?max?f(p),f(q)?，f(x)min?min?f(p),f(q)?. 2a10.一元二次方程f(x)?x2?px?q＝0的实根分布

若x???p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的充要条件为f(m)?0或?p；

???m?2（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的充要条件为

pm?n?m?np?m??????n??2222??f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或?p2?4q?0；

??f(n)?0f(m)?0?????p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,m)内有根的充要条件为f(m)?0或?p .

???m?211.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的不等式f(x)?t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)min?t,(x?L)。

(2)在给定区间(??,??)的子区间L上含参数的不等式f(x)?t(t为参数)恒成立的充要条件是f(x)max?t,(x?L)。

(3) 在给定区间(??,??)的子区间L上含参数的不等式f(x)?t(t为参数)的有解充要条件是f(x)max?t,(x?L)。

(4) 在给定区间(??,??)的子区间L上含参数的不等式f(x)?t(t为参数)有解的充要条件是f(x)min?t,(x?L)。

对于参数a及函数y?f(x),x?A.若a?f(x)恒成立，则a?fmax(x)；若a?f(x)恒成立，则a?fmin(x)；若a?f(x)有解，则a?fmin(x)；若a?f(x)有解，则a?fmax(x)；若a?f(x)有解，则fmin(x)?a?fmax(x).（若函数y?f(x),x?A无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论）.

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12.真值表

ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有x，成立 存在某x，不成立 对任何x，不成立 存在某x，成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 p或q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q p且q ?p或?q 原命题若p则q互否互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p14.四种命题的相互关系(右图): 15.充要条件（记p表示条件，q表示结论） （1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件. （3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性的等价关系

(1)设x1,x2??a,b?,x1?x2那么

逆逆否否命题若┐p则┐q互逆f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是增函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数； 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数；如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数y?f[g(x)]是减函数.

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?18．奇偶函数的图象特征

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奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.常见函数的图像：

yyyyyk<0ok>0xoa<0x2-1o1y=x+-21xxy=ax01y=logax0

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是y=kx+ba>01a>1xx?a?bb?a;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?对称. 22a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称;

2若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性 (1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x). (2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系：f(a)?b?f?1(b)?a.

?127.函数y?f(x)与其反函数y?f(x)的图像的交点不一定全在直线y?x上。 28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx?f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c. x(2)指数函数f(x)?a?f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.

(3)对数函数f(x)?logax?f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).

?(4)幂函数f(x)?x?f(xy)?f(x)f(y),f?(1)??.

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