包含与排除

【专题精华】 对于一些求和的问题，通常只要直接相加就可以得出结果。但是有的求和问题，却不能直 接相加，因为有的情况会有包含重复。因此我们在解题时当两个计算部分有重复包含时， 为了 不重复计数，应从它们的和中排除重复的部分。 这是牵涉到容斥原理的问题；对N个事物如果 采用两种不同的分类标准，按性质a分类，与性质 b分类，那么具有性质a或性质b的事物的 个数=Na+Nb-Nab（如图） NaNabNb

第5讲 包含与排除

【教材深化】

题2 小玲会唱19首歌，小丽会唱的24首歌,

两人都会唱的歌有_______首。

题1 同学们到图书馆借课外书。四（1）班的敏捷思维 小玲会唱的19首歌与小丽会唱的同学没人都借了课外书，其中借文艺书的有4024首歌之和为什么会比她们共会唱的36首歌人，借科技书的有30人。两种书都借有25人，多呢？原因是她们都会唱的重复计算了。 求四（1）班共有_______人。 全解 她们都会的有19+24-36=7（首）

敏捷思维 由于两种书都借的有25人，故这25拓展探究 如下图，A是小玲会唱的歌，B是小人既在借文艺书的40人当中，又在节科技书的丽会唱的歌，则C表示小玲独自会唱的歌，D30人之内，故此，要不重复计算这25人，要表示小丽独自会唱的歌，E是小玲和小丽都会减去它。 唱的歌，则E=A+B-（C+E+D）。（C+E+D）是两人全解 全班共有40+30-25=45（人）。 共会唱的不重复的歌。利用图解使我们解题更拓展探究 当有两部分A、B，它们有重复的部清晰。 分C，要不重复地算A与B的总个数D，于是有

B A D=A+B-C。 【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 E D C 1． 四（1）班46人，其中会弹钢琴的有30人， 会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又

会拉小提琴的有_______人。

2．期末考试，小芳的语文成绩和自然成绩加起【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 来是187分，语文成绩和数学成绩加起来是1951． 一个班有48人，班主任在班会上问“谁做分，数学成绩和自然成绩加起来是190分，那完语文作业了？“这时有37人举手。又问：么小芳的语文成绩是_______分。 “谁做完数学作业了？”这时有42个人举3.全班38人排成一行，从左向右数第7名是小手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做张，从右向左数第10名是小王，小张和小王之完？”没有人举手。这个班语文、数学作间有_______名同学。 业都做完的有_______人。

2、某班每位同学都去图书馆借了课外书，借科技书的有28人，借文艺书的有40人，两种书都借的有26人，全班共有学生_______人。

3．某班40人在一次体育达标测试中，立定跳远达标的有26人，50米跑达标的有24人。两项都达标的有15人，有_______人两项都未达标。

参加游泳、跳高的人，而D则是三个项目都参加的人。依据题中的条件，将2填到D处。因为26人是短跑、游泳都有参加的人数，而三个项目都参加的2人肯定有参加短跑、游泳比赛，所以只参加短跑、游泳的有26-2=24（人），故在E处填24。同理在F中填20，在G中填8这样可得到解答图（2）。

【生活数学】

题3 四年级有48人，23人参加科技小组，26

人参加文艺小组，12人两个小组都参加了，有

多少人两个小组都没参加？

敏捷思维 从总人数中减去至少参加一项兴趣小组的人数，便是都没参加的人数。

全解 12人是两个小组都参加的，在23人26图（1） 图（2） 人都各算了一次，故不重复地算参加科技小组、 文艺小组的总人数有23+26-12=37（人），这样

全解 75+52+38-26-22-10+2=109(人) 两个小组都没参加的有48-37=11（人）

拓展探究 对于有三项相互重叠的问题，我们 答：有11人两个小组都没参加。

可以借助画图帮助我们理清数据，把互不重复

拓展探究 巧妙利用总数和部分的关系。

的人数填在相应位置，这样很容易找到各部分

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 的人数。此外，对于这题，我们还可以有如下

1．一个旅行团有40人，其中会英语的有24人，

的解法：把参加三个项目竞赛的人相加，用和

会俄语的有18人，两样都不会的有14人，

减去同时参加两个项目的人数，用差再加上同

那么，两样都会的有_______人。

时参加三个项目的人。

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 【感受奥赛】

1．某年级进行了球类比赛，参加足球比赛的有24人，参加篮球比赛的有21人，参加乒乓

题4 某校进行体育竞赛，项目有短跑、游泳、

球比赛的有18人。其中足球和篮球比赛都

跳高。其中参加短跑的有75人，游泳的有52

参加的有15人，篮球很乒乓球比赛都参加

人，跳高的有38人；同时参加短跑与游泳的有

的有10人，足球和乒乓球比赛都参加的有

26人，短跑与跳高的有22人，游泳与跳高的

13人，并且有8人三种球赛都参加了，问

有10人；三个项目都参加的有2人。问参加竞

参加球类比赛的共有多少人？

赛的总人数是多少？

敏捷思维 用画圆的方法帮助我们理解题意及

题意。如下图（1）画出三个有公共部分的相交

圆，圆A是参加短跑竞赛的人（75）人，圆B

2． 在一个100人的旅行团中，懂英语的有66

是参加游泳的人（52）人，圆C是参加跳高的

人，懂汉语的有54人，懂日语的有55人，

人（38）人。另外E是表示只参加短跑、游泳

既懂英语又懂汉语的有25人，既懂汉语又

的人，F表示只参加短跑、跳高的人，G表示只

懂日语的有21人，但没一个人懂得这三门语言，也没有任何一个人不懂其中任何一门语言。问有多少人既懂英语又懂日语？

3． 一个长方形、正方形、三角形如下图所示，它们的面积分别是30平方厘米，15平方厘米，13平方厘米。其中三角形与长方形，长方形与正方形、正方形与三角形公共部分面积分别是8平方厘米，7平方厘米，5平方厘米，且三个图形的公共部分的面积是3平方厘米，求这三个图形放在桌上所覆盖的面积是_______平方厘米。

敏捷思维 这是一道典型的容斥问题。 全解 由容斥原理知,盖住桌面的总面积为

100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米) 拓展探究 遇到容斥问题，我们都要借助图形来分析题意，可以把其中的关系直观的表现出来。

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 1．在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有 人,最多有 人。 2．某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有 人。 3. 70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人. 题5 在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片

2

(如图),它们的面积都是100(cm)并知A、B两 求(1)只得短跑奖的人数;

2

圆重叠的面积是20(cm),A、C两圆重叠的面积(2)得二项奖的总人数;

22

为45(cm),B、C两圆重叠面积为31(cm),三个(3)一项奖均未得的人数。

2

圆共同重叠的面积为15(cm),求盖住桌子的总 面积是 平方厘米. A

B C

60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！ 1．某班有40个学生，其中15人参加数学小组，7．某校五年级共有110人，参加语文、数学、18人参加航模小组，有10人两个小组都参英语三科活动小组，每人至少参加一组。已加，那么有_______人两个小组都不参加。 知参加语文小组的有52人，其中只参加语 2．两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸文小组的有16人；参加英语小组的有61人，

如图所示,则它们盖住 平方厘米。 其中只参加英语小组的有15人；参加数学

3 小组的有63人，其中只参加数学小组的有

21人，那么三组都参加的有_______人。

两8．在桌面上放置三个两两重叠的圆形纸片，它 3 1.5 个们的面积都是90平方厘米，盖住桌面的总

2

面积是145平方厘米，三张纸片共同重叠部

分的面积是45平方厘米那么图中三块阴影2 3．小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语部分面积之和是_______平方厘米。 文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、 陶艺、跳绳。用圆A、圆B分别表示小明、 B 小英的爱好。如图所示，则阴影部分面积表

C A 示_______。

9．在1~1000的所有自然数中，至少可被5或 7整除的数有_______个。 10．40名同学在做3道数学题，有25人做对4．某门诊部统计某一天挂号的病人，内科150第一题，有28人做对第二题，有31人做对人，外科92人，其中内、外两科都求诊的第三题，那么至少有_______人做对了三道18人，这一天共来了 个病人。 题。

5．某班参加一次智力竞赛，共a,b,c三道题，11．六年级共有190个学生参加考试。数学考每题或者得满分，或者得0分，其中题a满试有178人及格，语文考试有181人及格，分是20分，题b满分与题c满分都是25分。英语考试有174人及格，那么三科全部及格竞赛结果每个学生至少答对了一题，三题全的学生至少有_______人。 答对的有1人，恰好答对题b的人数之和为12．有两栋楼房共有120户住户。其中订《羊29人，答对题a的人数与答对题b的人数城晚报》的有85户，订《广州日报》的有之和为25人，答对题b的人数与答对题c90户，订《南方都市报》的有60户，同时的人数之和为20人，那么这个班的平均成订《广州日报》与《南方都市》报的有48绩是_______分。 户，同时订这三种报纸的有23户，此外，6．在1,2,3,?,1000这1000个自然数中,既是还有6户没订任何报，只订《羊城晚报》及2的倍数,又不是3的倍数的数共有 个。 《广州日报》的有_______户。

第5讲 包含与排除提高卷