12、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥ACF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。 F证明：
B∵BE‖CF
MC∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM E∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
13、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD与△ACD中AB=AC
ABD=DC AD=AD D∴△ABD≌△ACD
BC∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC F在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC
14、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
A因为AB=DC B FAE=DF,
ECD 9
CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为 角DCB=角ABF
AB=DC BF=CE
三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE
15.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。
D 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等
E 腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE≌△ABF A C得AE=AF
F
B
16．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.
又因为AC是公共边，所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以∠5=∠6
17．已知：如图，AB=AC，BD?AC，CE?AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：因为 AB=AC，
A125E6B34CDC F B E
D 10
A
所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD⊥AC，CE⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边)
则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BE＝CD
18.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． AAS证△ＡＤＥ≌△ADF
F 19．在△ABC中，?ACB?90?，AC?BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，
B C D ≌?CEBBE?MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①?ADC；
②DE?AD?BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBE AC=CB， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，DC=BE， ∴DE=CE-CD=AD-BE；
20．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
11
A E NA证明： 43（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB F∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° E∴∠ABM=∠ACN 1M2∵BM=AC，CN=AB C∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN
B12
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