2019-2020学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(理科)

故选：A．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

0?2x?y?2…?0，13．（5分）设变量x，则目标函数z?3x?2y的最大值为 8 ． y满足约束条件?x?2y?4…?x?1?0?3z【解答】解：由z?3x?2y得y??x?，

220?2x?y?2…?0，对应的平面区域如图（阴影部分）作出变量x，y满足约束条件?x?2y?4…：由

?x?1?0??x?15解得A(1,)， ?2?x?2y?4?03z3z3z平移直线y??x?由图象可知当直线y??x?经过点A时，直线y??x?的截距

222222最大，

5此时z也最大，将A(1,)代入目标函数z?3x?2y，

2得z?8． 故答案为：8．

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14．（5分）函数y?loga(x?3)?1(a?1，a?0)的图象恒过定点A，若点A在直线

mx?ny?1?0上，其中m?0，n?0，则

12?的最小值为 8 ． mn【解答】解：Qx??2时，y?loga1?1??1，

?函数y?loga(x?3)?1(a?0，a?1)的图象恒过定点(?2,?1)即A(?2,?1)，

Q点A在直线mx?ny?1?0上，

??2m?n?1?0，即2m?n?1， Qm?0，n?0，

?1212n4mn4m??(?)(2m?n)?2???2…4?2gg?8， mnmnmnmn当且仅当m?故答案为：8

11，n?时取等号．

2415．（5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒且AB?BD?CD?1，则此鳖儒的外接球的表面积为 3? ． ABCD中，AB?平面BCD，

【解答】解：由题意知，BD?CD，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高都是1，既是棱长为1的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为

R，则2R?3，

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所以外接球的表面积S?4?R2?3?， 故答案为：3?

16．（5分）已知f(x)?x?xlnx，若k?Z，且k(x?2)?f(x)对任意x?2恒成立，则k的最大值是 4 ． 【解答】解：Qx?2，

?k(x?2)?f(x)可化为k?令F(x)?x?xlnx， x?2f(x)x?xlnx； ?x?2x?21(1?lnx?xg)(x?2)?(x?xlnx)x?2lnx?4x?则F?(x)?；

(x?2)2(x?2)2令g(x)?x?2lnx?4，则g?(x)?1?故g(x)在(2,??)上是增函数，

2?0， x且g（8）?8?2ln8?4?2(2?ln8)?0，g（9）?9?2ln9?4?5?2ln9?0； 故存在x0?(8,9)，使g(x0)?0，即2lnx0?x0?4； 故F(x)?x?xlnx在(2,x0)上是减函数，在(x0，??)上是增函数； x?2故Fmin(x)?F(x0)?故k?x0； 2x0?x0x0?42?x0； x0?22故k的最大值是4； 故答案为：4．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知等比数列{an}是递减数列，a1a4?（1）求数列{an}的通项公式；

31，a2?a3?．

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?1?（2）若bn??(n?2)log2an，求数列??的前n项和Tn．

?bn?【解答】解：（1）Q数列{an}是等比数列且a1a4??a2a3?1， 3231，又a2?a3?，且数列{an}是递减数列，

83211，a3?， 48解得：a2??q?11，a1?． 2212?an?()n；

1（2）bn??(n?2)log2an??(n?2)log2()n?n(n?2)．

211111???(?)， bnn(n?2)2nn?2?1?1111111111则数列??的前n项和Tn?(1???????????)

b232435n?1n?1nn?2?n?11111311?(1???)?(??)． 22n?1n?222n?1n?2c，18．（12分）已知?ABC中，内角A，若(2a?c)cosB?bcosC?0． b，C所对边分别为a，B，

（1）求角B的大小；

（2）若b?2，求a?c的取值范围．

【解答】解：（1）Q(2a?c)cosB?bcosC?0，

?(2sinA?sinC)cosB?sinBcosC?0， ?2sinAcosB?sin(B?C)?0， QA?B?C??，

?sin(B?C)?sin(??A)?sinA， ?2sinAcosB?sinA?0， QsinA?0，

?cosB?1， 2QB?(0,?)， ?B??3；

（2）由B?

?3，b?2，

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