可得：b2?a2?c2?ac?(a?c)2?3ac， 又(a?c)2?3ac…(a?c)2?3(a?c)2?14(a?c)24，
?(a?c)2?4b2?16，即a?c?4，
又a?c?b?2，
??ABC的周长的范围为(2，4]．
19．（12分）如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA?AB?2，E为PD中点．
（1）求证：PB//平面EAC； （2）求二面角A?BE?C的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于O， Q底面ABCD为正方形，
?O为BD的中点，
QE为PD的中点，
?OE//PB，
QEO在平面EAC内，PB不在平面EAC内， ?PB//平面EAC；
（2）Q底面ABCD为正方形， ?BC?AB，
又BC?PB，ABIPB?B， ?BC?平面PAB， ?BC?PA，
第17页（共21页）
PA?平面ABCD，且
同理CD?PD，BCICD?C，
?PA?平面ABCD，
故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为2， 则A(0，0，0)，C(2，2，0)，E(0，1，1)，B(2，0，0)，
uuuruuurr设平面ABE的一个法向量为m?(x,y,z)，又AE?(0,1,1)，AB?(2,0,0)， rruuu?mgAE?y?z?0r?则?ruuu，可取m?(0,?1,1)， r??mgAB?2x?0r同理可得平面BCE的一个法向量为n?(1,0,2)， rrmgn10rr?cos?m,n??rr?，
|m||n|5?二面角A?BE?C的正弦值为15． 5
20．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2?2列联表如下：
对车辆状况好评 对车辆状况不满意 对优惠活动好评 150 60 对优惠活动不满意 50 40 合计 200 100 第18页（共21页）
合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，
12获得2元券的概率分别是,，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两
25次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：下边的临界值表仅供参考： P(K2…k0) k0 0.15 2.072 20.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 n(ad?bc)2（参考公式：K?，其中n?a?b?c?d)
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)n(ad?bc)2300?(150?40?60?50)2【解答】解：（1） K???7.1429?10.828，
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)210?90?200?1002?不在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系．
（2）公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券， 用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，
12用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是,，且各次获取骑行券的结果相互独
25立．
某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X， 则X的可能取值为0，1，2，3，4， 用户骑行一次获得0元券的概率p?1?11， P(X?0)?()2?10100P(X?1)?11111????， 1022101012211133， ??????10551022100121， ??2510P(X?2)?12212P(X?3)?????，
25525第19页（共21页）
224， P(X?4)???5525?随机变量X的分布列为：
X P 0 1 2 3 4 1 1001 1033 1002 54 25数学期望E(X)?0?113324?1??2??3??4??2.6． 10010100525x2y221．（12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F，上顶点为M，直线FM的斜
ab率为?26，且原点到直线FM的距离为．
32（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若不经过点F的直线l:y?kx?m(k?0,m?0)与椭圆C交于A，B两点，且与圆x2?y2?1相切．试探究?ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
b2【解答】解：（1）可设F(c,0)，M(0,b)，可得???，
c2直线FM的方程为bx?cy?bc， 即有bcb2?c2?6，解得b?1，c?2，a?3， 3x2则椭圆方程为?y2?1；
3（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (x1?0，x2?0)，
连接OA，OQ，在?OAQ中，
x122|AQ|?x?y?1?x?1??1?x12，
332212121即|AQ|?66x1，同理可得|BQ|?x2， 336(x1?x2)， 3666(x1?x2)?3?x1?3?x2?23， 333?|AB|?|AQ|?|BQ|??|AB|?|AF|?|BF|???ABF的周长是定值23．
第20页（共21页）
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