高考数学 - 最后100个知识点

高考数学100个提醒—— 知识、方法与例题

一、集合与逻辑

1、区分集合中元素的形式：如：?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；

?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，

2 如：（1）设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝y|y?x?1,x?M，则M?N?___（答：； [1,??)）

????（2）设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}，N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则M?N?_____（答：{(?2,?2)}）

2、条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况.

如：A?{x|ax2?2x?1?0}，如果A?R???，求a的取值。（答：a≤0）

??3、A?B?{x|x?A且x?B};A?B?{x|x?A或x?B} CUA={x|x∈U但x?A};A?B?x?A则x?B;真子集怎定义？含n个元素的集合的子集个数为2,真子集个数为2－1; 如：满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7） 4、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?

5、A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U 6、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使

n

n

3f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）

27、原命题: p?q;逆命题: q?p;否命题: ?p??q；逆否命题: ?q??p；互为逆否的两个

命题是等价的.

如：“sin??sin?”是“???”的 条件。（答：充分非必要条件） 8、若p?q且q??p;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;

9、如：（1）给出下列命题：①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；②若

a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；③已知x,y?R，“若xy?0，则x?0或y?0”

的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”；④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）； 9、注意命题p?q的否定与它的否命题的区别: 命题p?q的否定是p??q；否命题是?p??q

命题“p或q”的否定是“┐P且┐Q”，“p且q”的否定是“┐P或┐Q”

注意：如 “若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是“若a和b不都是偶数，则a?b是奇数”否定是“若a和b都是偶数，则a?b是奇数” 二、函数与导数

0a?1，loga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，，，?1man logex?lnx，ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N。 1log8 如：()2的值为________ 210、指数式、对数式：amn?a，anm?mn11、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数;

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12、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式f(x)=a(x-h)+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相

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1

对位置关系; 如：若函数y?12x?2x?4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝ （答：2） 2cc(中心为(b,a)) (x?0)平移?y?a?x?bxa0),(0，??)上为增函数a?0时,在(0，a],[?a,0)递减 是奇函数,a?0时,在区间(??，x④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 13、反比例函数:y?14、对勾函数y?x?在(??，?a],[a,??)递增

15、单调性： ①定义法;②导数法.

如：已知函数f(x)?x3?ax在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是____(答：(??,3]))； 注意①：f?(x)?0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。

如：函数f(x)?x3在(??,??)上单调递增，但f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.

如：已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：?12?m?） 23③复合函数由同增异减判定 ④图像判定. ⑤作用:比大小,解证不等式. 如：函数y?log1?x2?2x的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

2??16、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数

过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。 17、周期性：

（1）类比“三角函数图像”得：

①若y?f(x)图像有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为

T?2|a?b|；

②若y?f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，则y?f(x)是周期函数，且一周期为T?2|a?b|；

③如果函数y?f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则函数y?f(x)必是周期函数，且一周期为T?4|a?b|；

如：已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：①函数f(x)满足?f?x??f?a?x?，则f(x)是周期为2a的周期函数；

1(a?0)恒成立，则T?2a； f(x)1(a?0)恒成立，则T?2a. ③若f(x?a)??f(x) ②若f(x?a)? 如：(1) 设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则

f(47.5)等于_____(答：?0.5)；

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(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是减函数，若?,?是锐角三角形的两个内角，则f(sin?),f(cos?)的大小关系为___(答：f(sin?)?f(cos?))；

18、常见的图象变换

①函数y?f?x?a?的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴向左(a?0)或向右(a?0)平移a个单位得到的。如要得到y?lg(3?x)的图像，只需作y?lgx关于____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数f(x)?x?lg(x?2)?1的图象与x轴的交点个数有____个(答：2) ②函数y?f?x?+a的图象是把函数y?f?x?助图象沿y轴向上(a?0)或向下(a?0)平移a个单位得到的；如将函数y?b?a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象

x?a关于直线y?x对称,那么(A)a??1,b?0(B)a??1,b?R(C)a?1,b?0(D)a?0,b?R(答：C) ③函数y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸缩为原来的

1得到的。 a13轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x?6))；（2）如若函数y?f(2x?1)1是偶函数，则函数y?f(2x)的对称轴方程是_______(答：x??)．

2④函数y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

如：（1）将函数y?f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将此图像沿x19、函数的对称性。

a?b对称。 2 如：已知二次函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等

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根，则f(x)＝_____(答：?x?x)；

2②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?； ③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?； ④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?； ⑤点(x,y)关于直线y??x?a的对称点为(?(y?a),?x?a)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x?a的对称曲线的方程为f(?(y?a),?x?a)?0。特别地，点(x,y)关于直线y?x的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)?0关于直线y?x的对称曲线的方程为f(y,x)?0；点(x,y)关于直线y??x的对称点为(?y,?x)；曲线f(x,y)?0关于直线y??x的对称曲线的方程为f(?y,?x)?0。

x?33,(x?),若y?f(x?1)的图像是C1,它关于直线y?x对称图像是 如：己知函数f(x)?2x?32x?2C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：y??）；

2x?1①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=x=

b?a对称。 2a?b对称;两函数y=f(a+x)与y=f(b-x)图像关于直线2提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如

x?1?a(a?R)。求证：函数f(x)的图像关于点M(a,?1)成中心对称图形。

a?x2⑥曲线f(x,y)?0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2a?x,2b?y)?0。如若函数y?x?x与

（1）已知函数f(x)?y?g(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：?x2?7x?6）

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3

⑦形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的图像是双曲线，对称中心是点(?d,a)。如已知函数图象C?与

cccx?d且图象C?关于点（2，－3）对称，则a的值为______C:y(x?a?1)?ax?a2?1关于直线y?x对称，

（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于____对称 （答：

y轴）

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y)；

f(x)； f(y)f(x)③指数函数型：f(x)?ax ----------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?；

f(y)x④对数函数型：f(x)?logax ---f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)；

yf(x)?f(y)⑤三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?。

1?f(x)f(y)T如：已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则f(?)?_（答：0）

2②幂函数型：f(x)?x2 --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()?21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数具相同单调性⑤f(x)定义域为A,值域为

-1-1

B,则f[f(x)]=x(x∈B),f[f(x)]=x(x∈A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。 如：已知函数y?f(x)的图象过点(1,1),那么f?4?x?的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））； 22、题型方法总结:

Ⅰ、判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ、求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)?ax2?bx?c；顶点式：f(x)?a(x?m)2?n；零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)）。

如：已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为

xy12x?2x?1） 2（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。

22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)? 如：（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx（2）若f(x?2??的解析式（答：f(x)??x224； ?2x2,x?[?2,2]）

11)?x2?2，则函数f(x?1)=____（答：x2?2x?3）；（3）若函数f(x)是xx定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，

f(x)=________（答：x(1?3x)）.

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。 （3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。 如：（1）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?

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2）； 34