2019年
[70分] 8＋6标准练3
???1
1．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝?y?y＝，x>2
x???
??
?，则?UP等于( ) ??
?1?A.?，＋∞?
?2?
C．(0，＋∞) 答案 A
?1?B.?0，?
?2?
?1?D．(－∞，0)∪?，＋∞? ?2?
解析 由集合U中的函数y＝log2x，x>1，解得y>0， 所以全集U＝(0，＋∞)，
?1??1?同样P＝?0，?，得到?UP＝?，＋∞?.
?2??2?
2．“a>0”是“函数f(x)＝x＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 B
解析 当a>0时，f′(x)＝3x＋a>0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；
当f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数时，f′(x)＝3x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥0，必要性不成立， 故“a>0”是“函数f(x)＝x＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．
→1→→→2→
3.如图，在△ABC中，AN＝NC，P是直线BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为( )
45
3
2
23
A．－4 B．－1 C．1 D．4 答案 B
→→
解析 由题意，设BP＝nBN， →→→则AP＝AB＋BP →→＝AB＋nBN →→→＝AB＋n(AN－AB) →?1→→?＝AB＋n?NC－AB?
?4?
2019年
→?1→→?＝AB＋n?AC－AB?
?5?→n→
＝(1－n)AB＋AC，
5→→2→又∵AP＝mAB＋AC，
5
n2
∴m＝1－n，＝.
55
解得n＝2，m＝－1.
4．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1111A. B. C. D. 2345答案 B
解析 根据几何体的三视图，得
该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P－ABCD所得的几何体． 设AB＝1，则截去的部分为三棱锥E－BCD，它的体积为
V三棱锥E－BCD＝××1×1×＝，
剩余部分的体积为
11
3211212
V剩余部分＝V四棱锥P－ABCD－V三棱锥E－BCD
1112
＝×1×1－＝. 3124
所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为 11
∶＝1∶3. 124
5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式
2019年
求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3 答案 C
解析 模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1； 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2； 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3； 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4； 不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.
由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484， 可得5>n≥4，所以输入n的值为4.
6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为( ) A．90° C．45° 答案 C
解析 如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．
B．60° D．30°
∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角， ∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直线BD和平面ABC所成角的大小为45°.
7．在区间[－1,1]上任取两数s和t，则关于x的方程x＋2sx＋t＝0的两根都是正数的概率为( )
2
2019年
A.
1111 B. C. D. 241243
答案 B
??－1≤s≤1，解析 由题意可得，?
其区域是边长为2的正方形，面积为4，
??
－1≤t≤1，由二次方程x2
＋2sx＋t＝0有两正根，可得 ?2
?
4s－4t≥0，?－2s>0，??t>0，
?s2
≥t，即?
?s<0，??t>0，
其区域如图阴影部分所示，
面积S＝?0
2
1－1sds＝
3s3??01
?－1＝3
， 1
所求概率P＝34＝1
12
.
8．已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2
＝1，则S＝1＋z2xyz的最小值为( A．3 B.3?3＋1?2 C．4 D．2(2＋1)
答案 C
解析 由题意可得0 ?z＋1－z?2＝1?2??4 ， 当且仅当z＝1－z，即z＝1 2时取等号． 又x2 ＋y2 ＋z2 ＝1，∴1－z2 ＝x2 ＋y2 ≥2xy， 2 当且仅当x＝y时取等号，∴1－z2xy≥1， )
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