第10课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质． 3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】
1.函数f(x)?x?4x?4在区间[?4,?1]有_____1 ___个零点． 2.已知函数f(x)的图像是连续的，且x与f(x)有如下的对应值表：
2x f(x) 1 －2.3 2 3.4 3 0 4 －1.3 5 －3.4 6 3.4 则f(x)在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】
例1.f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)?af(x)?b， 则下列关于函数g(x)的结论：
①若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2 解：当a?0且b?0时，g(x)?af(x)?b是非奇非偶函数，①不正确；当a??2，b?0时，g(x)??2f(x)是奇函数，关于原点对称，③不正确；当a?0，b?2时，f(x)??由图知，当?2??2，a22?2时，f(x)??才有三个实数根，故④不正确；故选②． aa点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本． 第1页/共3页 例2.设f(x)?3ax?2bx?c，若a?b?c?0，f(0)?0，f(1)?0． 求证：（1）a?0且?2?2b??1； a（2）方程f(x)?0在(0,1)内有两个实根． 分析：利用a?b?c?0，f(0)?0，f(1)?0进行消元代换． 证明：（1）入f(1)得： f(0)?c?0，f(1)?3a?2b?c?0，由a?b?c?0，得b??a?c，代 a?c?0，即a?c?0，且0?（2）得证． cbc?1，即??1??(?2,?1)，即证． aaa1111f()??a?0，又f(0)?0，f(1)?0．则两根分别在区间(0,)，(,1)内，24221来考2点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点 12b选?，也可利用根的分布来做． 3a【反馈演练】 察f()的正负是首选目标，如不能实现f()?0，则应在区间内选取其它的值．本题也可 121．设f(x)?3ax?2a?1，a为常数．若存在x0?(0,1)，使得f(x0)?0，则实数a的取值范围是 (??,?1)?(,??)． 12?x2?bx?c,x?0,2．设函数f(x)??若f(?4)?f(0)，f(?2)??2，则关于x的方程 ?2,x?0.f(x)?x解的个数为 A．1 D．4 2 B．2 C （ C ） ． 3 3．已知f(x)?ax?bx?c(a?0)，且方程f(x)?x无实数根，下列命题： ①方程f[f(x)]?x也一定没有实数根；②若a?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立； ③若a?0，则必存在实数x0，使f[f(x0)]?x0 第2页/共3页 ④若a?b?c?0，则不等式f[f(x)]?x对一切实数x都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ． 4．设二次函数f(x)?x?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1．求实数a的取值范围． 解：令g(x)?f(x)?x?x?(a?1)x?a， 22???0，?1?a?a?0，??1，??0?则由题意可得??0?a?3?22． ???1?a?1，2?g(1)?0，??a?3?22，或a?3?22，???g(0)?0，故所求实数a的取值范围是(0，3?22)． 5．已知函数f(x)?log2(4x?1)?kx(k?R)是偶函数，求k的值； 解： f(x)是偶函数，?f(?x)?f(x) 由于此式对于一切x?R恒成立，?k??1 6．已知二次函数f(x)?ax?bx?c．若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点. 证明： 2f(1)?a?b?c?0且a?b?c,?a?0且c?0,???b2?4ac?0, ?f(x)的图象与x轴有两个交点. 第3页/共3页
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