班 级 … 东 北 大 学 研 究 生 … …… 学 号 ○… …… 姓 名 …密 …… … …○ …… …… 封… …… …○ …… …线 …… …… …… …… 院 考 试 试 卷 总分 2011 —2012 学年第 一、解答下列各题：（每题5分，共30分） 1.设近似值x具有5位有效数字，则x的相对误差限为多少？ 解：记x*??0.a1a2...?10m，则x的相对误差为： x*?x0.5?10m?5x*?0.a1a2...?10m0.5?10?5?.5?10?40.1?0 即，相对误差限为：0.5?10?4. ?420?2.问a,b满足什么条件时，矩阵A???25a???有分解式A?GGT，并求a?b?2时?0b5??的分解式（其中G是对角线元素大于零的下三角形矩阵）. ?420?0解：由于A???25a?????21??12a/2??（A对称正定时） ??0b5????0b/25?ab/4??所以，当?25?a?b?25时有分解式A?GGT，a?b?2时有： ???200??210??120????021?? ??012????002??3.解线性方程组??x1?2x2?22x?9x的Jacobi迭代法是否收敛，为什么？ 12?3B???02????(B)?2/3?1一 二 三 四 五 4.对方程 f(x)?(x 3?a)2?0建立 Newton迭代格式，并说明此迭代格式是否收 敛？若收敛，收敛阶是多少？ 解：Newton迭代格式为： ，xk?1?5xk6?a6x2,k?0,1,2,... k由于迭代函数为：?(x)?5x6?a6x2，方程根为：??3a，所以， ，且??(?)?12?0 所以，此迭代格式收敛，收敛阶是1. 5.设f(x)?4x3?3x?5，求差商f[0,1],f[1,2,3,4]和f[1,2,3,4,5]。 解：f[0,1]?f（1）?f（0）1?0?2?(?5)?7 ?420?A???252???f[1,2,3,4]?4，?025?f[1,2,3,4,5]?0 6.设p2(x)是区间[0,1]上权函数为x的二次正交多项式，计算积分?10x2p2(x)dx. 10x2p2(x)dx?10x?x?p2(x)dx?[x,p2(x)]?0二、解答下列各题：（每题8分，共48分） ……?x1?0.3x2?0.2x3?1…1.用Gauss-Saidel迭代法求解方程组??x2?0.4x3?2，如果取初值…??x1?x3??1○…x0?(0,0,0)T,试估计迭代10步的误差x10?x*?. …解：由于Gauss-Saidel迭代矩阵为： ……?100??1?0?0.30密G?(D?L)?1U???010?…???.2??00?0.4???101????000??……?0?0.30.…??2??00?0.4?? ?○?00.3?0.2??…所以，G…??0.5, …?x(k?1)??0.3x(k)(k)12?0.2x3…由于Gauss-Saidel迭代格式为：??1封?x(k?1)2??0.4x(k)3?2，所以， ?…?x(k?1)3??x(k?1)1?1…x(1)?(1,2,?2)T，x(1)?x(0)…??2，于是 …○x1)(0)10?x*?G10??1?Gx(?x??…?…0.510…0.5?2?1128?256?0.00390625 线…2．给定离散数据 …xi －1 0 1 2 …yi 2 －1 1 3 ……试求形如y?a?bx2的拟合曲线。 ……解：由于?0(x)?1,?1(x)?x2，所以?0?(1,1,1,1)T,?1?(1,0,1,4)T, …f?(2,?1,1,3)T，所以，正则方程组为：??4a?6b?5， ?6a?18b?15a?0,b?5/6y?5/6x?2c?1，a?b?c??2，?a?c?0，解得：a?c??1/2,b??1， 所以，H(x)??12(x?2)(x2?2x?1)??132(x3?3x?2)。 4．确定求积公式?1?1f(x)dx?12f(?1)?A1f(0)?A2f(1)中的待定系数，使其代数精度尽可能高，并问此公式是不是插值型求积公式. 解：令公式对f(x)?1,x都精确成立，得：A1?A2?3/2,A2?1/2, 所以，A1?1,A2?1/2时，公式?1f(x)dx?1?12f(?1)?f(0)?12f(1)代数精度最高. 又由于公式对f(x)?x2不能精确成立，所以，代数精度为1，不是插值型求积公式。 5.利用复化Simpson公式S2计算定积分I???0sinxdx的近似值，并估计误差。 解：I?S2??12[sin0?sin??2sin?2?4sin?4?4sin3?4]??6(1?22)?2.00456 由于f(x)?sinx的4阶导数在[0,?]上的最大值为：M4?1,所以 误差为：|I?S?5M42|?2880?24＝0.006641 6．求解初值问题??y??sin(x?2y),0?x?2(0)?1的改进Euler方法是否收敛？为什?y么？ 解：由于|sin(x?2y)?sin(x?2y)|?|2cos(x?2?)(y?y)|?2|y?y| 即，函数f(x,y)?sin(x?2y)连续，且关于变量y满足Lipschitz条件，所以，改进Euler方法收敛。
三、（9分）说明方程2x?sinx?2?0在区间[1?2,2]内有唯一根，并建立一个 …收敛的迭代格式，使对任意初值x0?[1,?]都收敛，说明收敛理由和收敛阶。 …22 …解：记f(x)?2x?sinx?2，则f(x)?C[1,?]f(1)?0?…22,且2,f(2)?0，而且， ○f?(x)?2?cosx?0，所以，方程2x?sinx?2?0在区间[1,?]内有唯一根。 …22 …建立迭代格式：x1k?1?sinxk?1,k?0,1,2,... …2 …由于，迭代函数?（x)?1密2sinx?1在区间[1?2,2]上满足条件： … ……12?1??(x)?32??2，|??(x)|?|12cosx|?1 …2?1 ○所以，此迭代格式对任意初值x[1?0?2,2]都收敛。 ……又由于，??(?)?12cos??0，所以，此迭代格式1阶收敛。 ……四、（9分）已知求解常微分方程初值问题：??y??f(x,y),x?[a,b] 封?y(a)??的差分公式： … …… …○ …求此差分公式的阶。 …解：由于 …线 …y?yh2?fn?fnh3?2fn?2fn?1n?fnh?2(?x??yfn)?8(?x2?2?x?y… … …
…y(xy?(xh2h3n?1)?y(xn)?hn)?…2y??(xn)?6(y???(xn)?O… … 五、（4分）设矩阵M是n阶方阵，M有一个绝对值小于1的特征值?，且方程组x?Mx?g有唯一解x*，证明：存在初始向量x(0)使迭代格式：x(k?1)?Mx(k)?g,k?0,1,2,...产生的序列{x(k)}收敛到x*. 解：由x(k?1)?Mx(k)?g和x*?Mx*?g可得： x(k?1)?x*?M(x(k)?x*),k?0,1,2,... 递推的：x(k)?x*?Mk(x(0)?x*) 设y是矩阵M属于特征值?的特征向量，取x(0)?y?x*，则有： x(k)?x*?Mky??ky，于是有：x(k)?x*??ky 所以，klim??x(k)?x*?0，即序列{x(k)}收敛到x*. ??2f2?y2fn)?O(h4))?y?fh2?fn?fnh3nnh?2(?x??yfn)?6y???(xn)?Ofn??yn?1?y???y0??(h4(h4)
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