（重点）平面向量数量积公式的应用

平面向量数量积公式的应用

向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。

一、解决平面几何问题： 1．长度问题

例1：设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：AB?AE?AD?AF?AC。

CD

AEB

2．垂直问题

例2：如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明： PA?EF。

3．夹角问题

例3：求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。

二、解决三角问题： 1．证明一些公式： 例

4：对于任意实数

yAB2FPDOECxFyAEOCDBxY?，?，求证：

aAcos(???)?cos?cos??sin?sin?。

O???A1bB1XB2．证明三角恒等式：

例5：已知?、?为锐角，且3sin2??2sin2??1，

A6A5A43sin2??2sin2??0，求证：??2??

3．求三角函数值： 例6：求值：cos

4．解与三角形有关的问题：

?2。

A7A1eA2A32?4?6??cos?cos。 777例7：在锐角△ABC中，已知cosA?cosB?cos(A?B)?

3，求角C的值。 2三、证明等式：

一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明了。

22222例8：设(x?y)(a?b)?(ax?by)（ab?0），求证：

xy? ab

例9：已知a1?b2?b1?a2?1，求证：a?b?1。

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四、解方程：

解决一些特殊的方程时，也可以适用向量的方法解决。 例10：解方程：x?4x?1?4?x?4x。

五、求函数的最值或值域：

某些条件最值如果按常规方法求不易入手，但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地构造向量，则会使问题变得简单。

例11：求函数f(x)?5x?6?x的最大值。

22例12：已知x?y?9，a?b?4（x，y，a，b?R），求ax?by的极值。

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