第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如下图。重力加速度大小为
g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平稳位置周围做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部周围作无滑转动；
（2）圆筒可绕其固定的滑腻中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部周围作无滑转动。 解：
（1）如图，?为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质
R 的静摩擦力大小为心的运动，由质心
运动定理得
F?mgsin??ma ①
式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无其中心轴转过的角度?1（规定小圆柱在最低点时?1?0）与?之 R??r(?1??) ② 由②式得，a与?的关系为
?R 1 滑转动，小圆柱绕间的关系为
d2?1d2? a?r2?(R?r)2 ③
dtdt考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 d2?1 ?rF?I2 ④
dt式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量
1 I?mr2 ⑤
2由①②③④⑤式及小角近似
sin??? ⑥ 得
d2?2g ???0 ⑦
dt23(R?r)由⑦式知，小圆柱质心在其平稳位置周围的微振动是简谐振动，其振动频率为 f?1g ⑧
π6(R?r)（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，?1和?2别离为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相关于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置?1??2?0）。关于小圆柱，由转动定理得
2?1?d? ?Fr??mr2?21 ⑨
?2?dt关于圆筒，同理有
22d?2 FR?(MR)2 ⑩
dt由⑨⑩式得
d2?1d2?2?21? ?F????r2?R2 ?
dtdt?mM?设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角?，由于小圆柱与圆筒间做无滑转动，有 R??r(?1??)?R?2 ? 由?式得
d2?d2?1d2?2 (R?r)2?r2?R2 ?
dtdtdt设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得 F?mgsin??ma ? 由?式得
d2? a?(R?r)2 ?
dt由????式及小角近似sin???，得
d2?2M?mg ???0 ? 2dt3M?mR?r由?式可知，小圆柱质心在其平稳位置周围的微振动是简谐振动，其振动频率为
f?12M?mg ?
2π3M?mR?r
评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。 二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
k r? P C 1??cos?式中，r是P到太阳S的距离，?是矢径SP相关于极轴SA的夹角（以逆r 2L??A 时针方向为正），k?, L是P相关于太阳的角动量，2B GMmS ?113?1?230RE G?6.67?10m?kg?s为引力常量，M?1.99?10kg为太阳的质量，
D 2EL2??1?223为偏心率，m和E别离为P的质量和机械能。假设有一
GMm颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如下图。已知地球轨道半径RE?1.49?1011m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的彼此阻碍。求彗星
（1）前后两次穿过地球轨道所用的时刻； （2）通过C、D两点时速度的大小。
xdx23/21/2已知积分公式???x?a??2a?x?a??C，式中C是任意常数。
x?a3解：
（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故
??1, E?0 ① 彗星绕太阳运动的轨道方程为：
k r? ②
1?cos? 彗星绕太阳运动进程中，机械能守恒
12L2 mr??V?r??E?0 ③
22mr2式中
Mm V?r???G ④
r当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为rmin，由③式得 L2Mm ⑤ ??Vr?G??min22mrminrmin由⑤式和题给条件得
L2RE ⑥ ?r?min2GMm23由③式得
dr2GML2??22 dtrmr或
dr dt? ⑦
22GML?22rmr设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时刻为?t，对⑦式两边积分，并利用⑥式得
REREdr1rdr ?t?? ⑧ ?RE?2rmin2GMR2GML3r?E?223rmr对⑧式应用题给积分公式得
RE1rdr?t? RE2GM?3REr?31 ?2GM3/21/2?2?RE?2RE?RE????RE????RE??? ⑨
3?3?3???3?32103RE ?27GM由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时刻距离为
32203RE T?2?t? ⑩
27GM将题给数据代入⑩式得
T?6.40?106s ? （2）彗星在运动进程中机械能守恒
1GMm mv2??E?0 ?
2r式中v是彗星离太阳的距离为r时的运行速度的大小。由?式有
2GM v? ?
r当彗星通过C、D处时
rC?rD?RE ? 由??式得，彗星通过C、D两点处的速度的大小为
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