解答题分类特训(一) 三角函数与解三角形
(建议用时：40分钟)
2π
1．(2019·辽宁丹东质量测试)如图，在四边形ABCD中，B＝，AB＝3，△ABC的面
333积为.
4
(1)求AC；
π
(2)若BC⊥CD，D＝，求AD．
4
1332π
解析 (1)由AB·BC·sin B＝，B＝，AB＝3，得BC＝3.所以由余弦定理可以得到
243AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos
2π
＝9，即AC＝3. 3
2ππ
(2)由(1)知AB＝BC＝3，AC＝3，且B＝，所以∠ACB＝，因为BC⊥CD，所以∠ACD
36πACAD36
＝.在△ACD中，由正弦定理得＝，所以AD＝. 3sin Dsin∠ACD2
2．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b. (1)求角A的大小；
(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.
解析 (1)因为2acos C－c＝2b，所以2sin Acos C－sin C＝2sin B＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，
所以－sin C＝2cos Asin C， 1因为sin C≠0，所以cos A＝－，
22π
又A∈(0，π)，所以A＝.
3
ABBD
(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，
sin∠ADBsin AABsin A2
所以sin∠ADB＝＝.
BD2
2ππ
又∠ADB∈(0，π)，A＝，所以∠ADB＝，
34ππ
所以∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝2，
66
2π
由余弦定理得a2＝c2＋b2－2cbcos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos＝6，所以a＝6.
33．(2019·山东德州联考)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋3cos2ωx－
3
(ω＞0)的最小正周2
π3
期为π，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数y＝
62g(x)的图象．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
A?(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g??2?＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解析 (1)由题意得，f(x)＝sin ωxcos ωx＋3cos2ωx－13
＝sin 2ωx＋(2cos2ωx－1) 2213
＝sin 2ωx＋cos 2ωx 22
3 2
π
2ωx＋?(ω＞0)， ＝sin?3??由它的最小正周期为
2π
＝π，得ω＝1， 2ω
π2x＋?， 所以f(x)＝sin?3??
πππ5ππ
由2kπ－≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
23212125ππ
kπ－，kπ＋?，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间是?1212??
π3
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数y＝g(x)
62πA3333
x－?－＝sin 2x－的图象．由题意可得g??＝sin A－＝0，即sin A＝，又A＝f??6?2?2?222π是锐角，所以A＝.
3
π
因为a＝1，由余弦定理得1＝b2＋c2－2bccos ，
3所以1＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 所以bc≤1，当且仅当b＝c时，等号成立． 13
所以△ABC的面积S△ABC＝bcsin A≤，
24故△ABC面积的最大值为
3. 4
4．(2019·四川绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解析 (1)由已知，结合正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc. 又由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 1所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－. 22π
由于A为△ABC的内角，所以A＝. 3
(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C及正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，
2π3即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.
34
又由sin B＋sin C＝1，得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，
1
所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，
41
解得sin B＝sin C＝. 2
ππ
因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，
36所以△ABC是等腰三角形．
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