文科数列专题复习
一、等差数列与等比数列
1.基本量的思想：
常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系
d1）若数列?an?是等差数列，则数列{an}是等比数列，公比为a，其中a是常数，da是?an?的公差。（a>0且a≠1）；
2）若数列?an?是等比数列，且an?0，则数列?logaan?是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a?0,a?1，q是?an?的公比。
3）若{an}既是等差数列又是等比数列,则{an}是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较 定义 等差数列 等比数列 {an}为A?P?an?1?an?d(常数） {an}为G?P?an?1an ?q(常数）通项公 式 求和公 式 an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-d an?a1qn?1?akqn?k n(a1?an)n(n?1)?na1?d22 d2d?n?(a1?)n22sn?A=(q?1)?na1?sn??a1(1?qn)a1?anq (q?1)?1?q?1?q?G2?ab。 推广：an?an?m?an?m 若m+n=p+q，则aman?apaq。 若{kn}成等比数列 （其中kn?N），则{akn}成等比数列。 2中项公式 a?b 2推广：2an=an?m?an?m 性质1 2 若m+n=p+q则 am?an?ap?aq 若{kn}成A.P（其中kn?N）则{akn}也为A.P。 3 ．sn,s2n?sn,s3n?s2n 成等差数列。 sn,s2n?sn,s3n?s2n成等比数列。 4 a?a1am?an d?n?(m?n) n?1m?nqn?1?ana ， qn?m?n (m?n) a1am4、典型例题分析
【题型1】 等差数列与等比数列的联系
例1 （文16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和Sn. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得
an
1?2d1?8d＝， 11?2d解得d＝1，d＝0（舍去）， 故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知22
3
n
am=2，由等比数列前n项和公式得
n
2(1?2n)n+1
Sm=2+2+2+…+2==2-2.
1?2d小结与拓展：数列?an?是等差数列，则数列{an}是等比数列，公比为a，其中a是
a常数，d是?an?的公差。（a>0且a≠1）.
【题型2】 与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合
例2 已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋2a3＋…＋2
－1
*
2
n
an＝8n对任意的n∈N都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项
公式。
解：a1＋2a2＋2a3＋…＋2
2
2
n－1
an＝8n(n∈N) ①
n－2
*
当n≥2时，a1＋2a2＋2a3＋…＋2①－②得2
n－1
an－1＝8(n－1)(n∈N) ②
*
an＝8，求得an＝2
4－n
，
在①中令n＝1，可得a1＝8＝2∴an＝2
4－n
*
4－1
，
(n∈N)． 由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， 法一（迭代法）
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8) ＝n－7n＋14(n∈N)．
2
*
法二（累加法）
即bn－bn－1＝2n－8， bn－1－bn－2＝2n－10， …
b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，
相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
(n－1)(－4＋2n－8)2*
＝8＋＝n－7n＋14(n∈N)．
2
小结与拓展：1）在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
(n?1)?a1?S1 .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、an???Sn?Sn?1 (n?2,n?N)累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。
【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）
例3 （文）在等比数列｛an｝中，an＞0 (n?N），公比q?(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a
28
＊
a＝25，a3与as的等比中项为2。（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设bn＝log2 an，
数列｛bn｝的前n项和为Sn当
SS1S2??????n最大时，求n的值。 12n22解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以，a3 + 2a3a5 +a5＝25
又an＞o，…a3＋a5＝5 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4 而q?（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，q?1，a1＝16，所以， 2?1?an?16????2?n?1?25?n
（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，
所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，Sn?所以，当n≤8时，
n(9?n)Sn9?n,? 2n2SnSS＞0，当n＝9时，n＝0，n＞9时，n＜0， nnn当n＝8或9时，
SS1S2??????n最大。 12n小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。
二、数列的前n项和
1.前n项和公式Sn的定义： Sn=a1+a2+…an。
2.数列求和的方法（1）
（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等
比数列的数列；4）常用公式:
?k?1?2?3?Lk?1nn?n?n(n?1)；
211?kk?1nk?12?12?22?32?L?n2?n(n?1)(2n?1)；
6n(n?1)2?k3?13?23?33?L?n3?[nk?1]2；
?(2k?1)?1?3?5?...?(2n-1)?n2。
（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。
（3）倒序相加法：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。
（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于??c??其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含
?anan?1???1??1??阶乘的数列等。如：1）?和?（其中?an?等差）可裂项为：???an?an?1???an?an?1??111111?(?)；2）（根式在分母上时可?(an?1?an)。
an?an?1danan?1an?an?1d考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：
（1）
1n(n?1)??n11n?1；
（2）（3）（4）
1n(n?k)1?(?kn111n?k1)；
?1(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)?[12n(n?1)]；
n(n?1)!?1n!?1(n?1)!
2n?1?n（5）常见放缩公式：2(n?1?n)??1n?2n?n?1?2(n?n?1).
3.典型例题分析
【题型1】 公式法
ｎ2222例1 等比数列{an}的前ｎ项和Sｎ＝2－p，则a1?a2?a3???an＝________.
解：1）当n=1时，a1?2-p；
2）当n?2时，an?Sn-Sn-1?(2-p)-(2nn-1-p)?2n-1。
1-1 因为数列{an}为等比数列，所以a1?2-p?2?1?p?1
从而等比数列{an}为首项为1，公比为2的等比数列。
22故等比数列an为首项为1，公比为q?4的等比数列。
??231(1-4n)1na?a?a???a??(4-1)
1-4321222n小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比
数列 的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列{an}为等比数
2列，则数列an及????1?12?也为等比数列，首项分别为a1、，公比分别
a1?an?为q、
21。 q【题型2】 分组求和法
?例2 （文18）数列{an}中，a1?1，且点(an, an?1)(n?N)在函数f(x)?x?2的图象上.求数列{an}的通项公式
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