习题1：
1. 解 （1）{2，3，5，7，11，13，17，19} （2）{x|x=20*k,k是自然数} （3）{2，-1} 2. 解 （1）{2，4}
（2）{1，2，3，4，5} （3）{1，3}
（4）{1，3，5}
3. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} （2）?
（3）全体自然数
（4）{0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，20} （5）1，3，5，7，9，11，13，15，17，19} 4. 解 （1）正确 （2）正确 （3）错误
（4）正确
5. 解 （1）A={1}，B={{1}}，C={{1}} （2）A={1}，B={{1}}，C={{{1}}}
6. 解 （1）正确。由子集的定义。
（2） 不一定。如：A={1}，B={{1}}，C={{1}}。
（3）不一定。如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}} （4）不一定。如：A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}。
7. 解 A={1，2}，B={1}，C={2}，有A?B，但是A?C?B?C成立。 A={1，2}，B={1}，C={1}，有A?B，但是A?C?B?C成立。 8. 解 （1）? （2）{?}
（3）{{?}} （4）{?，{?}}
9. 解 （1）{1,2,3,4,5,6,7,8,9} （2）{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} （3）{0,3,6,7,8,9} 10. 解 333 11. 解 25 12. 解（1）454 （2）124 （3）220 13. 解 （1）{?}
（2）{?，{a}}
（3）{?，{?}，{a}，{?,a}}
（4）{?，{?}，{{?}}，{{?},?}}
（5）{?，{{?}}，{?}，{a}，{{?},?}，{{?},a}，{?,a}，{{?},?,a}} 14. 证明：假设B?C，则至少存在一元素x?B且x?C。
(1) 若x?A，因为x?B，所以x?A?B；因为x?C，所以x? A?C，则A?B? A?C，
与已知条件A?B= A?C矛盾。
(2) 若x? A，因为x?B，所以x?A?B；因为x?C，所以x?A?C，则A?B? A?C，与已知条件A?B= A?C矛盾。
由(1)，(2)可知，假设不成立，因此B=C成立。 15. 证明： （1）左边=（A?B’）?C’=A?B’ ?C’=A?(B’ ?C’)=A?(B?C)’=A- B?C=右边. （2）左边=(A?B) ?C’=( A? C’) ?(B ?C’)=(A-C) ?(B-C)
(3) 左边=A ?( B?C)’=A?B’ ?C’=( A?B’) ?(A?C’)=(A-B) ?(A-C) 16. 证明：(1)反证法，假设B?C, 则至少存在一元素x?B且x?C。
若x?A，因为x?B，所以x?A ? B；因为x?C，所以x? A?C，则A?B? A?C，与已知条件A?B= A?C矛盾。
若x? A，因为x?B，所以x? A’ ? B；因为x?C，所以x? A’?C，则A’ ? B ? A’?C，与已知条件A’ ? B = A’?C矛盾。
所以，假设不成立，因此B=C成立。
（2）因为A ? B = A?C，A ? B = A?C，所以A ? B - A ? B = A?C- A?C，即A ? B = A?C，由第14题可得，B=C。
习题二：
1. 原题改为：设A?{1,2}，B?{a,b}，计算P(A),P(B),A?B,P(A)?P(B)。 解P(A)={ ?,{1},{2},{1,2}}; P(B)={ ?,{a},{b},{a,b}};
A?B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)};
P(A)?P(B)={(?,?),(?,{a}),(?,{b}),(?,{a,b}),({1},?),({1},{a}),({1},{b}),({1},{a,b}), ({2},?),({2},{a}),({2},{b}),({2},{a,b}),({1,2},?),({1,2},{a}),({1,2},{b}),
({1,2},{a,b})}
2. 略
3. 解 （1）成立
（2）不一定成立。反例：A={1，2}，B={2}，C={a，b}，D={b}
（3）不一定成立。反例：A={1，2}，B={2}，C={a，b}，D={b} （4）不一定成立。反例：A={1}，B={2}，C={a }，D={b}
4. 解 ?，{(1,3)}, {(2,3)}, {(1,3),(2,3)}
5．解IA={(1,1),(2,2),(3,3)} UA={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} ?1?6. 解（1）0???11000??1 ?0?? （2）略
（3）domR={1,2,3}; ranR={a,b,c}
7. 解R?S={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,c),(3,a),(3,b)}
R∩S={(1,a),(2,c),(3,a)} R-S={(1,b)}
R-1={(a,1),(b,1),(c,2),(a,3)}
8. 解 R.S={(a,a),(b,b),(b,d)}
S.R={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)} R-1.S-1={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c)}
-1-1
S.R={(a,a),(b,b),(d,b)} 9. 解 R={(a,a),(b,b),(c,c)}
10. 解 (1) R={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c)} (2) R={(a,b),(b,a)} (3) R={(a,b)}
11. 解 设集合A={1,2,3,4,5}
（1）正确。
（2）不成立。反例：R={(1,2)},S={(2,1)}
（3）不成立。反例：R={(1,2),(2,1)},S={(2,3),(3,2)} （4）不成立。反例：R={(1,2),(3,4)},S={(2,3),(4,5)} 12. 解 r(R)={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}
s(R)={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,d),(d,c)}
t(R)={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)} 13. 证明：直接利用闭包的构造式即可得证。
14.解 等价关系是{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,c),(c,a),(b,d),(d,b)}
15.证明:必要性： R是一个等价关系，则当(a,b)?R，(a,c)?R必有(b,c)?R。
因为R对称，所以当(a,b)?R时，有(b,a)?R， 因为R传递，所以当(b,a)?R，(a,c)?R时有(b,c)?R。
充分性：R是A上的一个自反关系，当(a,b)?R，(a,c)?R必有(b,c)?R，证明R是等价关系。
自反:条件已知；
对称:若(a,b)?R,因为R自反,故(a,a)?R, 现在(a,b)?R,(a,a)?R,则根据条件(b,a)?R； 传递: 若(a,b)?R,(b,c)?R
因为(a,b)?R,(b,c)?R, 而R对称,所以(b,a)?R, 现在(b,a)?R,(b,c)?R, 所以根据条件有(a,c)?R
16. 解 15。
17. 解 A/R={{a,b},{c},{d}}。
18. 解 R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,c),(c,b)}
19. 解 最大元是e，最小元是a，极大元是e，极小元是a。 20. 解 6 5 4 2 21. 是全序、良序。 1
3 习题六：
1. 解 （1）不是命题 （2）是命题，（看具体日期确定）。
（3）是命题，（看具体情况）。
（4）若进行的布尔运算，则是真命题；若十进制运算则是假命题。 （5）不是命题。
（6）是真命题。
（7）是真命题。 （8）不是命题。
（9）是命题。目前不能知道真值。
（10）是命题变元。根据x，y的取值确定真值。
（11）不是命题。 2. 解
（1）P：付出劳动；Q：有收获。 则命题符号化为：?P??Q （2）P：今天下雨；Q：我去看电影。 则命题符号化为：?P?Q
（3）P：a是奇数；Q：b是奇数；R：a与b的和是偶数。 则命题符号化为：P?Q?R
（4）P：小明学习好；Q：小明乐于助人。 则命题符号化为：P?Q
（5）P：小明骑自行车；Q：小明听音乐。
则命题符号化为：P?Q
（6）P：今天是周二；Q：我准备下周开会的材料。 则命题符号化为：P?Q 3. 解
(1) ?p??q (2) ?p?r (3) ?p?r?q
4. 解 （1）可满足式 （2）可满足式 （3）可满足式 （4）可满足式
（5）重言式
5. 证明 （1）左边??P??Q?P? P?(?P??Q) ??P?(P??Q) ?右边。 （2）左边??(?P?Q) ? P??Q ?右边。
(3) 左边? P?(?P??Q) ??P?(?Q? P) ? P?( Q ? P) ?右边。
(4) 右边?(?P?R) ?(?Q?R) ??P??Q?R??(P?Q) ?R?(P?Q) ?R ?左边。 6. 解 此题答案不唯一。
（1）合取范式与析取范式都可以是P?Q。
（2）原式是重言式。合取范式与析取范式都可以是1。 （3）合取范式可以是（?P?Q）? (P??Q) 析取范式可以是（?P??Q）? (P?Q)
（4）原式是重言式。合取范式与析取范式都可以是1。 7. 解 （1）主析取范式：(?P?Q) ?( P?Q)
主合取范式：（P?Q）?（?P?Q）
(2) 主析取范式：(?P??Q??R) ? (?P??Q?R) ? (?P??Q??R) ? (?P?Q?R) ? (P??Q??R) ? (P??Q?R) ? (P?Q??R) ? (P?Q?R) 主合取范式：空 （3）主析取范式：（P??Q）?（P?Q）
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