操作探究
一.选择题
1．（2015?山东滕州羊庄中学?4月模拟）如图1，⊙O的半径为1，点O到直线m的距离为 2，点P是直线m上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是 A．1 B．3 C． 2 答案：B；
二.填空题
图1
D．5
1．（2015?山东滕州东沙河中学?二模）如图2，以点P（2，0）为圆心，3为半径作圆，点M（a，b）是⊙P上的一点，则答案：3；
三.解答题
b 的最大值是____ ． a1. （2015·江苏高邮·一模）（本题满分12分）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：
（1）如图1，若连接矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则Rt△ADC可由Rt△ABC
经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点 ▲ 、旋转角度是 ▲ °；
（2）如图2，将矩形纸片ABCD沿折痕EF对折、展平．再沿折痕GC折叠，使点B落在
EF上的点B′处，这样能得到∠B′GC．求∠B′GC的度数．
（3）如图3，取AD边的中点P，剪下△BPC，将△BPC沿着射线BC的方向依次进行平移
变换，每次均移动BC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI(如图4)．若BH＝BI， BC=a，则：①证明以BD、BF、BH为三边构成的新三角形的是直角三角形； ②若这个新三角形面积小于5015，请求出a的最大整数值．
解：（1）点O、180° ……………………2分
（2）连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'＝B'C，由翻折可得，
C B
（图1）
B F （图2）
C
C B
（图3）
B
a C
E （图4）
G
I
O G B′ A 图2
D A A E D P D P D F H B'C＝BC，∴△BB'C为等边三角形．∴∠B'CB＝60°， （或由三角函数FC：B'C＝1：2求出∠B'CB＝60°也可以．）
∴∠B'CG＝30°，∴∠B'GC＝60° ……………………4分
（3）①分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，
来∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DM⊥CE，FQ⊥EG，HN⊥GI． 在Rt△AHN中，AH＝AI＝4a， 15
AH2＝HN2＋AN2，HN2＝a2，
415
则DM2＝FQ2＝HN2＝a2，
4
A
a C
M
E
Q
G
N
I
B D F H AD2＝AM2＋DM2＝6a2，AF2＝AQ2＋FQ2＝10a2， 新三角形三边长为4a、6a、10a．
∵AH2＝AD2＋AF2 ∴新三角形为直角三角形． ……………………4分 （或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）
1
②其面积为6a10a＝15a2．∵15a2＜5015 ∴a2＜50
2∴a的最大整数值为7． ……………………2分
2．（2015·江苏江阴·3月月考）提出问题：
如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
A D
A D B
图1
C
B
图2
C
背景介绍：
这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积．．
周线”．
尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2） 小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD 答案：解：（1）作线段AD（或BC）的中垂线即可. （2）小华不会成功．直线平分梯形ABCD面积，则 11(AE+BF)AB=(ED+CF)AB 22来源中&国教育出版网@] ∴AE+BF = ED+CF，又∵AB＜CD，∴此时AE+BF+ AB＜ED+CF+ CD∴小华不可能成功 （3）可求得：S梯形ABCD=18，C梯形ABCD=18， 由（2）可知直线分别交AD、BC于点E、F时不可能，只要分以下几种情况： ①当直线分别交AD、AB于E、F时 有 S△AEF≤S△ABD，又∵S△ABD=6＜9，∴不可能 同理，当直线分别交AD、CD于E、F时S△AEF≤S△ACD＜9, ∴不可能 ②当直线分别交AB、BC于E、F时 设BE=x，则BF=9?x 1 由直线平分梯形面积得： x(9?x)=9 2求得：x1=3，x2=6＞4（舍去） ∴BE=3 ③当直线分别交CD、BC于E、F时 14x 设CE=x，可得：S△ECF= × ×(9?x)=9 252x2－18 x+45=0 此方程无解，∴不可能 ④当直线分别交AB、CD于、 E、F时 1x3x6x2 设CF=x，可得：SBFEC= ×(3? )(6? )+ = 9 25525
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