安阳师范学院人文管理学院本科毕业论文（设计）
S(R)=2?R2+令S?(R)?0,则R?3VV+（V为常数） RRVV,代入V??R2h，得h?，即h?2R。 22??R例2 横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，问断面的宽和高应该各是多少？
解：设断面的宽和高分别是x和y，则横梁的强度T?kxy2(k?0)，又y2?d2?x2， 故求f(x)?x(d2?x2)(0?x?d)的最大值即可。
3由f?(x)?d2?3x2?0,得x=函数f(x)在[0,d]上连续，故必有最大值和最小值，d，
3则当x变化时f?的变化情况如下表：
表 4-1
x 0 (0,3d) 33d 3 0 233d 9(3d,d) 3d T? - + ? ? T
由表可知ymax= f(0 递增 极大值 递减 0 2333d。 d)=935.2 单调性在生产利润中的应用
例1 生产某种产品需要投甲、乙两种原料x1和x2（单位：吨）分别是它们各自的投入
??量，则该产品的产出量为Q?2x1，其中??0，??0且????1。两种原x2（单位：吨）
料的价格分别为p1与p2（单位：万元/吨）。试问，当投入两种原料的总费用为P（单位：万元）时，两种原料各投入多少可以使该产品的产出最大？
??解：由题设只应求函数Q?2x1x2在条件P?p1x1?p2x2之下的最大值点，应用拉格朗
日乘数法构造拉格朗日函数
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??F(x1,x2,?)?2x1x2??(p1x1?p2x2?P)，
为求F(x1,x2,?)的驻点，解方程组
??1??Fx?1?2?x1x2??p1?0?????1 ?Fx?2?2?x1x2??p2?0
??F?p1x1?p2x2?P?0???????1?p22?x1a?1x22?x1x2由方程Fx?1?0，Fx?2?0可得，解得x1?x2. ??p1p1p2代入F???0有
??P?P，x2?。 p2x2?p2x2?P，解得x1?p1p2?因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故在两种原料投入的总费用为P（万元）时，这两种原料的投入量为x1??Pp1（吨），x2??Pp2（吨），可使该产品的产出量最大。
例2 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入R万元与电视广告费x万元及报纸广告费y万元之间的关系为：
R?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2。
(1)在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；
(2) 若提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最佳广告策略。
解：(1)利润函数为
L(x,y)?R?(x?y)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2
求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
??L?13?8y?4x?0???x ??L??31?8x?20y?0???y解得x?0.75，y?1.25。则(0.75,1.25)为L(x,y)惟一的驻点。
又由题意，L(x,y)可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处达到。 所以最大利润为L(0.75,1.25)?39.25万元。
因此，当电视广告费与报纸广告费分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.2519
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万元，此即为最佳广告策略。
(2)求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件x?y?1.5 下， 求L(x,y)的最大值．作拉格朗日函数
F(x,y)?L(x,y)???(x,y)
?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2??(x?y?1.5)
求函数F(x,y)的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：
??F?13?8y?4x???0,???x ??F?31?8x?20y???0。???y?并和条件x?y?1.5联立解得x?0，y?1.5。这是惟一的驻点，又由题意L(x,y)一定存在最大值，故L(0,1.5)?39万元为最大值。 5.3 单调性在结构工程中的应用
例1 如下图所示，此简图为一常见的框架梁结构图。梁上分布有均布荷载，求此梁最大处弯矩？
图4.3.1
解：将图形简化如下
图4.3.2
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（1）求支座反力
ql 2（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A为原点，并将x表示在图上。
由?Y?0和对称条件知 YA?YB?xqlqx2M?x??YA?x?qx??x??0?x?l?
222（3）依题意得
56.9?656.9x2?0?x?6? M(x)?x?22M?(x)?56.9?6?56.9x?0?x?6? 2当x?3时，M?(x)?0；当x?3时，M?(x)?0；当x?3时，M?(x)?0；
故x?3时，M(x)取得最大值，M(x)max?M(3)?256.05KN?M,即弯矩最大处在跨中位置。
5.4 单调性在优化路径中的应用
例1 工厂A到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B,铁路线上距离为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站，再由车站D向工厂修一条公路，如果已知每千米铁路运费与公路运费之比为3:5，那么D应该建在何处，才能是原料供应站C运货到A所需运费最省？
图4.4.1
解：设BD之间的距离为xkm，则有
AD?x2?202,CD?100?x
3如果公路费用为a元/km，那么铁路运费为a元/km，故原料供应站C途径中转站D到
5工厂A所需总费用y为
3y?a(100?x)?ax2?400(0?x?100) 5求导得
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