七年级数学竞赛专家讲座：第5讲 线段和角

第五讲：线段和角

一、知识结构图

线段 线段的比较和画法 线段性质 直线 直线性质 角的分类 线段的中点 两点间的距离 平角 直角 锐角 钝角 周角 射线 角 角的比较、度量和画法 角平分线 定义 相关角 余角和补角 性质 同角（或等角） 的余角相等 同角（或等角） 的补角相等 二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 ……

n 1+2+3+ … +(n－1)=

n?n?1? 2问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个

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(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展：1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 ……

n 1+2+3+ … +(n+1)=

?n?1??n?2?

2类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角

2 1

3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 ……

n 1+2+3+ … +(n－1)=

类比联想：如图，可以得到多少三角形？

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

AMBn?n?1? 2图形语言： 几何语言： ∠ M是线段AB的中点 ∠ AM?BM?

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1AB，2AM?2BM?AB 2

典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ）

11AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=AB 2212．若点B在直线AC上，下列表达式：①AB?AC；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．

2（A）AP=

其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=表示C是AB中点的有( C )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= ______ MN． 分析：据题意画出图形

设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x，

MRPQN1AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能23xMR233所以，MR=x ，则??

2MN4x85．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）

AMBCNDA 2（a－b） B 2a－b C a+b D a－b 分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b

因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a－b+a=2a－b （三）与角有关的问题

1． 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，

则∠AOC=____80°或40°________度（分类讨论）

2． A、O、B共线，OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线，

猜想∠ MON的度数，试证明你的结论．

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