北京市东城区2019届高三5月综合练习(二模)数学理

????ì?n?BE0,ì?y-z=0,则í即í ??????x+3z=0.?n?DE0,?令z?1，则y=1，x=-3． 所以n=(-3,1,1)． ???9分 设直线CF与平面BDE成角为?，

????10 sinα=|cos=|10所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为10．????????10分 10????????（Ⅲ）设G是CF上一点，且CG??CF，??[0,1]． ?????11分

因此点G(3??4,?3??23,23?)． ?????12分

????BG?(3??4,?3?,23?)．

????????4由BG?DE0，解得λ=．

9所以在棱CF上存在点G使得BG^DE，此时

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当a?0时，因为f(x)=x2?e-x，

所以f'(x)=(-x2+2x)?e-x， ????1分

CG4=．???14分 CF9f'(-1)=-3e． ????2分

又因为f(-1)=e， ????3分 所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为

y-e=-3e(x+1)，即3ex+y+2e=0． ????????4分

（Ⅱ）“对任意的t?[0,2]，存在s?[0,2]使得f(s)3g(t)成立”等价于“在区间[0,2]上，f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值”． ???????5分

125)-， 24所以g(x)在[0,2]上的最大值为g(2)?1．

2因为g(x)=x-x-1=(x-f'(x)=(2x+a)?e-x(x2+ax-a)?e-x

=-e-x[x2+(a-2)x-2a]

·9·

=-e-x(x-2)(x+a)

令f'(x)=0，得x=2或x=-a．???????7分 ① 当-a?0，即a30时，

f'(x)30在[0,2]上恒成立，f(x)在[0,2]上为单调递增函数， f(x)的最大值为f(2)=(4+a)?由(4+a)壮21, 2e11，得a?e24． ?????9分 e② 当0<-a<2，即-2

当x?(0,?a)时，f'(x)<0，f(x)为单调递减函数，

当x?(?a，2)时，f'(x)?0，f(x)为单调递增函数． 所以f(x)的最大值为f(0)=-a或f(2)=(4+a)?由-a?1，得a?1；由(4+a)壮21, e211，得a?e24． e又因为-2

③ 当-a?2，即a?2时，

f'(x)￡0在[0,2]上恒成立，f(x)在[0,2]上为单调递减函数， f(x)的最大值为f(0)=-a，

由-a?1，得a?1， 又因为a?2，所以a?2．

2综上所述，实数a的值范围是a?1或a?e4．????????13分

（19）（共14分）

?b?3,?解：（Ⅰ）由题意得?c?1,解得a?2． ?????4分

?a2?b2?c2.?x2y2??1． ??????5分 所以椭圆C的方程为43（Ⅱ）“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分DMFB”．

?????6分

设直线AM的方程为y=k(x+2)(k?0)，则N(2,4k),E(2,2k)．??7分

·10·

ìy=k(x+2),? 设点M(x0,y0)，由íx2y2得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0，

?+=1,??43ì-8k2+6?x0=,2?3+4k得í??9分

12k?y=.?023+4k?① 当MF^x轴时，x0=1，此时k=?1． 2所以M(1,北),N(2,2),E(2,?1)．

此时，点E在DBFM的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1， 即EF平分DMFB． ??10分 ②当k贡321y04k时，直线MF的斜率为kMF=， =22x0-11-4k所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0． ??11分 所以点E到直线MF的距离

d=|8k+2k(4k2-1)-4k|16k+(4k-1)222=|4k+2k(4k2-1)|(4k2+1)2

|2k(4k2+1)|==|2k|=|BE|． 2|4k+1|即点B关于直线EF的对称点在直线MF上． ???????14分

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）由于A?(1,0,1,0,1)，B?(0,1,1,1,0)，由定义d(A,B)= 可得d(A,B)=4. ??????????4分

（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列A1,A2,A3,L,Am，

使得A1=(1,1,1,1,1)，Am=(0,0,0,0,0).

因为向量A1=(1,1,1,1,1)的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，

·11·

?|a-b|，

i=1iin不妨设A1的第i(i=1,2,3,4,5)个分量1变化了2ni-1次之后变成0， 所以将A1中所有分量1变为0共需要

(2n1-1)+(2n2-1)+(2n3-1)+(2n4-1)+(2n5-1) =2(n1+n2+n3+n4+n5-2)-1次，此数为奇数.

又因为d(Ai,Ai+1)=2,i?N*，说明Ai中的分量有2个数值发生改变， 进而变化到Ai?1，所以共需要改变数值2(m?1)次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0). ?????9分 （Ⅲ）此时m?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.?????13分

易见当m为12的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1分). 答出m?5,8,10给(1分).

答出m?7,9,11中任一个给(1分)，都对给(2分)

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