2019年中考数学总复习(江西)专题突破训练(含新题)：专题三 多解题

专题三 多解题

类型一 与线段有关

(2018·江西)在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________________．

【分析】 由点P在正方形的边或对角线上，分情况讨论，逐条边或逐条对角线上假设点P的存在，然后由PD＝2AP列方程求解． 【自主解答】 ∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x， ①当P在AD边上时，如解图①所示， ∵AD＝6，∴AD＋PD＝6. ∴x＋2x＝6，即x＝2，∴AP＝2. ②当P在DC上时，如解图②所示， 在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP.

③当P在BC边上时，如解图③所示，DP最大为62，AP最小为6，PD≠2AP. ④当P在AB上时，如解图④所示，

在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2， 解得x1＝23，x2＝－23(舍)，∴AP＝23. ⑤当P在对角线AC上时，如解图⑤所示， 在Rt△ADC中，AC＝AB2＋BC2＝62，

1

∴AO＝AC＝32，

2

在Rt△PDO中，PO＝32－x，PD＝2x，DO＝AO＝32， ∴PD2＝PO2＋DO2，(2x)2＝(32)2＋(32－x)2， 解得x1＝14－2，x2＝－14－2(舍)， ∴AP＝14－2.

⑥当P在对角线DB上时，如解图⑥所示， 在Rt△APO中，AP2＝AO2＋PO2， ∴x2＝(32)2＋(2x－32)2， 整理得x2－42x＋12＝0， ∵Δ＝－16＜0，∴方程无解． 综上所述：AP＝2或23或14－2.

【难点突破】 解决本题的关键在于依据PD＝2PA确定点P的位置，逐一位置判断确定成立性．

1．(2017·江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A′，若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点A′的坐标为_____________________．

第2题图

2．(2018·吉安十校联考)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E是射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N，当点B′是线段MN的三等分点时，BE的长为_____．

3．(2018·云南省卷)在△ABC中，AB＝34，AC＝5，若BC边上的高等于3，则BC边的长为__________．

4．(2019·原创)菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝23.若点P是菱形边上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为________________． 类型二 与特殊图形判定结合

(2018·萍乡一模)如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是________．

例2题图

【分析】 由△ADE是等腰三角形可分三种情况讨论，即AD＝DE，AE＝DE，AE＝AD，再由线段相等求m的值．

例2题解图

【自主解答】 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如解图，过点A作AG⊥BC于点G，则BG＝4，由勾股定理得AG＝3，∵△ADE是等腰三角形，可分为①AD＝AE时，则∠ADE＝∠AED，由平移得DE∥AB，AD∥BF，∴∠BAE＝∠DEA，∠B＝∠DEF，∠ADE＝∠DEF，∴∠EBA＝∠BAE，即点E在AB的垂直平分线上．过点E5

2BEBHBE25

作EH⊥AB于点H，则△BEH∽△BAG，∴＝，即＝，则m＝BE＝；②当

BGAB458AE＝DE时，由DE＝AC＝5，从而点E与点C重合，此时m＝8；③当AD＝DE时，25

由平移性质得AD＝m＝DE＝5.综上，m的值为 或8或5.

8

【难点突破】 对于探讨特殊图形问题，首先找准动点的位置，然后根据特殊图形的性质，如等腰三角形两边相等，直角三角形三边满足勾股定理等，借助相似、勾股定理求解，若在坐标系中，常考虑用点的坐标列方程求解．

1．(2019·原创)如图，有一三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是________．

2．(2015·江西)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一

个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为____3____7______．

3．(2018·吉州模拟)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，点P为AC上一动点，点P以1 cm/s的速度从点A出发沿AC向C运动，设运动时间为t s，当t＝________s时，△PAB为等腰三角形．

4．(2019·原创)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为________．

第5题图

5．(2018·江西南昌三模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为A(0，4)、B(－2，0)、C(8，0)，点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点．若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为________________________________． 类型三 与特殊角有关

(2014·江西)在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若

点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为____________．

【分析】 由∠ABP＝30°，而点P的位置不确定需分点P在AC上或点P在CA的延长线上，同时注意到题设告诉有一个角为60°，从而需要分∠C＝60°或∠C＝30°讨论．

【自主解答】 如解图①，当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；

如解图②：当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP＝BC＝6；

如解图③：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°－33

30°＝30°，∴PC＝PB.∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC＝PB＝＝＝

cos 30°3

223；

例3题解图④

如解图④：当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°＋

BC6

30°＝90°，∴PC＝＝＝43.故CP的长为6或23或43.

cos 30°3

2

1．(2018·上饶广丰区模拟)如图，一次函数y＝kx＋1的图象经过点A(1，2)，且与x轴交于点B，若点P是坐标轴上一点，且满足∠APB＝90°，则点P的坐标可以是________．

2．(2019·原创)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝43，点E是BC的中点，点F在AB上，FB＝2，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿F→A→D→C的路线运动，当∠FPE＝30°时，FP的长为______________.

参考答案

类型一

3532

1．(7，3)或(15，1)或(23，－2) 2.或

523．9或1 4.6或26或32－6 类型二

25

1．25°或40°或10° 2.23或27或2 3.5或8或

8

1530

4.或 5.(1，4)或(0，4)或(6，4) 47类型三

1．(1，0)或(0，2＋1)或(0，1－2) 2.4或8或43