2018年中考数学压轴题专题解析 - 几何动态探究问题—动点+动面

2018年中考数学压轴题专题解析---几何动态探究问题—动点+动面

1.已知在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB＝12，BE＝16，F为线段BE上一点，EF＝7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM＝90°，NG＝6，MG＝8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：

第１题图

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围;

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使得S:S△GMN=1:2?若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由.

解：（1）在Rt△GMN中，GN＝6，GM＝8，∴MN＝10． 由题意，易知点G的运动线路平行于BC．

如解图①所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．

第1题解图①

∵∠AED＝∠EGM＝90°，∴AE//GM． ∴四边形QEMG为平行四边形， ∴QG＝EM＝10， ∴t＝

10＝10秒；1[来源:Zxxk.Com]

（2）存在符合条件的点P．

在Rt△ABE中，AB＝12，BE＝16，由勾股定理得：AE＝20． 设∠AEB＝θ，则sinθ＝

43，cosθ＝，

55∵NE＝t，∴QE＝NE?cosθ＝

4t， 5AQ＝AE?QE＝20?

4t， 5△APQ是等腰三角形，有三种可能的情形： ①AP＝PQ．如解图②所示：

[来源:学+科+网Z+X+X+K]

[来源:学。科。网Z。X。X。K]第1题解图②

过点P作PK⊥AE于点K，则AK＝AP?cosθ＝∵AQ＝2AK，∴20?解得t＝

4t． 544t＝2×t， 5525； 3②AP＝AQ．如解图③所示：

第1题解图③

4t， 5100解得t＝；

9有t＝20?

③AQ＝PQ．如解图④所示：

第1题解图④

过点Q作QK⊥AP于点K，则AK＝AQ?cosθ＝?20?∵AP＝2AK，∴t＝2（16?

??4?416t???16?t． 5?52516t）， 25800． 5725100800综上所述，当t＝，或秒时，存在点P，使△APQ是等腰三角形．

3957解得：t＝

（3）如解图①所示，点N到达点F的时间为t＝7； 由（1）知，点G到达点Q的时间为t＝10；

4＝8，AQ＝20?8＝12， 5QRAQQR12∵GR//BC，∴＝，即＝，

EFAE72021∴QR＝．

52171∴点G到达点R的时间为t＝10＋＝；

55QE＝10×

点N到达终点B的时间为t＝16． 则在△GMN运动的过程中： ①当0≤t＜7时，如解图⑤所示：

第1题解图⑤ 第1题解图⑥

43t，QN＝NE?sinθ＝t， 55114362t， S＝QE?QN＝?t?t?255252QE＝NE?cosθ＝

②当7≤t＜10时，如解图⑥所示： 设QN与AF交于点I， ∵tan∠INF＝

GM4AB4?，tan∠IFN＝?， GN3BF3∴∠INF＝∠IFN，△INF为等腰三角形．

1142NF?tan?INF???t?7????t?7?． 223311212S△INF＝NF?h???t?7???t?7???t?7?，

2233621714492t??t?7???t2?t?∴S＝S△QNE?S△INF＝； 253753371③当10≤t＜时，如解图⑦所示：

5底边NF上的高h＝

第1题解图⑦ 第1题解图⑧

1?t?7?2， 311214232?∴S＝S△GMN?S△INF＝24??t?7???t?；

333371④当≤t≤16时，如解图⑧所示：

5由②得：S△INF＝

FM＝FE?ME＝FE?（NE?MN）＝17?t．

[来源:学科网ZXXK]

设GM与AF交于点I，过点I作IK⊥MN于点K． ∵tan∠IFK＝

AB4?， BF3IK4x33??，解得x＝?17-t?． KM3x?17?t47∴可设IK＝4x，FK＝3x，则KM＝3x＋17?t． ∵tan∠IMF＝∴IK＝4x＝

12?17-t?． 7162∴S＝FM?IK??t?17?．

27?62?25t(0?t?7)???7t2?14t?49(7?t?10)?2533综上所述，S与t之间的函数关系式为：s??； ??1t2?14t?23(10?t?71)?3335?671?(t?17)2(?t?16)5?7（4）存在，理由如下：

11?×MG×NG=12, 2262

当S=12时，代入S=t,得t=52（舍去）,

2572144915t?t?70， 代入S= ?,得t=25-75337121423t?，代入S= ?t?得t=13或t=1（舍去），

33362代入S=?t?17?,得t=17?14（舍去），

7当S:S△GMN=1:2时，S=

[来源:学科网]