答案 (1)1－5≤2x＋y≤1＋5 (2)c≥2－1
??x＝cosθ，
解析 (1)方法一：圆x＋(y－1)＝1的参数方程为 ?
?y＝1＋sinθ，?
2
2
∴2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1.
∵－5≤2cosθ＋sinθ≤5， ∴1－5≤2x＋y≤5＋1.
方法二：2x＋y可看作直线y＝－2x＋b在y轴的截距，当直线与圆相切时b取最值，此时|230＋1－b|
＝1. 5
∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.
π
(2)∵x＋y＝cosθ＋1＋sinθ＝2sin(θ＋)＋1，
4
∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c.
∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0. ∴c的取值范围为c≥2－1.
1．将圆x＋y－2x－4y＋1＝0平分的直线是( ) A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0 答案 C
解析 因为圆心是(1，2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C. 2．设A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)，若线段AD是△ABC外接圆的直径，则点D的坐标是( ) A．(－8，6) B．(8，－6) C．(4，－6) D．(4，－3) 答案 B
解析 线段AB的垂直平分线x＋y－1＝0与线段AC的垂直平分线2x＋y－5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D的坐标为(8，－6)．
3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是( )
7
A．(x－3)2＋(y－)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
3
3
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．(x－)2＋(y－1)2＝1
2
答案 B
|4a－3|1
解析 设圆心为(a，1)，由已知得d＝＝1，∴a＝2(舍－)．
52
2
4．圆心在抛物线x＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴均相切的圆的方程是( )
1
A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0
4
1
C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－2x－y＋＝0
4
答案 D
a2
解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a，)．
2
2a
∴圆的方程为(x－a)2＋(y－)2＝r2.
24a
∴x2＋y2－2ax－a2y＋a2＋－r2＝0.
4
对比A，B，C，D项，仅D项x，y前系数符合条件．
5．若圆C的半径为1，点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，则圆C的标准方程为( )
2
2
A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 答案 A
解析 因为点C与点(2，0)关于点(1，0)对称，故由中点坐标公式可得C(0，0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.
6．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________． 答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝1
解析 由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.
3＋4－5
∴△AOB的内切圆半径r＝＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．
2
∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
7．已知圆C的方程为x2＋y2－mx－2my＝0(m≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________． ①圆C必定经过坐标原点；
②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y轴被圆C所截得的弦长为2m；
④直线y＝x与y轴的夹角的平分线必过圆心． 答案 ①② 8．(2016·西安五校联考)若过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的切线，切点为A，B，则△APB的外接圆方程为________． 答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
解析 连接OA，OB，由平面几何知识可知O，A，P，B四点共圆，故△APB的外接圆即
1
为以OP为直径的圆，即圆心为C(2，1)，半径r＝|OP|＝|OC|＝5，故圆的方程为(x－2)2
2
2
＋(y－1)＝5.
9．在直角坐标系xOy中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x－3y－3＝0相切． (1)求圆M的方程；
(2)如果圆M上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称，求实数m的值．
→→
(3)已知A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点P满足|PA|2|PB|＝|PO|2，求PA2PB的取值范围．
22
答案 (1)(x＋1)＋y＝4 (2)m＝1 (3)[－2，6)
解析 (1)依题意，圆M的半径r等于圆心M(－1，0)到直线x－3y－3＝0的距离，即r＝|－1－3|
＝2. 1＋3
∴圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)∵圆M上存在两点关于直线mx＋y＋1＝0对称， ∴直线mx＋y＋1＝0必过圆心M(－1，0)． ∴－m＋1＝0，∴m＝1.
(3)设P(x，y)，由|PA||PB|＝|PO|2，得
（x＋2）2＋y2·（x－2）2＋y2＝x2＋y2， 即x2－y2＝2. →→
∴PA·PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y) 222
＝x－4＋y＝2(y－1)． ∵点P在圆M内，
∴(x＋1)2＋y2<4，∴0≤y2<4，∴－1≤y2－1<3. →→
∴PA·PB的取值范围为[－2，6)．
课时作业(50)
1．(2016·衡水调研卷)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关系为( )
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 答案 B
|a30＋b30－1|解析 <1，∴a2＋b2>1，∴P(a，b)在圆外． 22a＋b
2．两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是( ) A．内切 B．外切 C．相交 D．外离 答案 A
解析 由于圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圆心为C1(－1，3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圆心为C2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C1C2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．
3．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( ) ππA. B. 622π5πC. D. 36答案 D
|k＋3|3
解析 由题意知，2＝1，∴k＝－.
3k＋1
5π
∴直线l的倾斜角为. 6
4．过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( ) A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0 C．5x－12y＋20＝0 D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0 答案 B
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)， 即kx－y＋4k＝0.
|3k－2|5则有2＝3，∴k＝－.
12k＋1
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
5．圆：x2＋y2－4x＋2y＋c＝0与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若∠APB＝90°，则实数c的值是( ) A．－3 B．3 C．22 D．8 答案 A
解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r＝5－c.令x＝0得y1＋y2＝－2，y1y2＝c，∴|AB|＝|y1－y2|＝21－c.又|AB|＝2r， ∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.
6．(2015·新课标全国Ⅱ理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( ) A．26 B．8 C．46 D．10 答案 C
?D＋3E＋F＋10＝0，
?
解析 设过A，B，C三点的圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，则?4D＋2E＋F＋20＝0，
??D－7E＋F＋50＝0
2
2
解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2
＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝46，故选C. 7．(2015·重庆理)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．42 C．6 D．210 答案 C
解析 圆C标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a31－1＝0，a＝－1，即A＝(－4，－1)，|AB|＝|AC2|－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.选C项．
8．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 C
解析 把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2. 9．(2016·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：
→→
(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则CA2CB的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．6 答案 B
22
??（x－3）＋（y－3）＝4，
解析 联立?消去y，
?x－y＋2＝0，?
得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)．
→→
又C(3，3)，∴CA＝(－2，0)，CB＝(0，2)． →→
∴CA·CB＝－230＋032＝0.
10．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A．1 B．22 C.7 D．3 答案 C 解析
设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，
则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，
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