第6讲 离散型随机变量及其分布列
1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X P 0 1 1 32 1 6a 若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( ) 1
A. 31C. 2
1B. 65D. 6
111
解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝
362
P(X≤x)＝＋＝.
2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10C7C8
个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于10的是( )
C15
A．P(X＝2) C．P(X＝4)
k10－k46
112356
B．P(X≤2) D．P(X≤4)
C7C8
解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝10，故k＝4，故选C.
C15
3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，
其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所1231以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
3636366
1答案： 6
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，1
所以a＝，
3
1
1??3－d≥0，11由?得－≤d≤.
331
＋d≥0，??3
?11?答案：?－，? ?33?
5．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X的可能取值为0，1，2，3. C31C33
P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝3＝；
2828C33C31
P(X＝2)＝3＝；P(X＝3)＝3＝. 2828所以X的分布列为
2
3
0
1
X P 0 1 81 3 82 3 83 1 8(2)至少出现两次正面向上的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
6．(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
C3·C7＋C3·C7
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝3
C10
49＝. 60
49
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
60(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3. C4·C6
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 3
C10所以随机变量X的分布列是
k3－k1
2
0
3
381182
2
X P 0 1 61 1 22 3 103 1 307.为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100，110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．
(1)求此次抽样的样本总数为多少人？
(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X，求X的分布列．
解：(1)设样本总数为n，
由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间的频率为：0.014×10＝0.14， 7
所以＝0.14，解得n＝50.
n(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为
A.
P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.
(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X＝10，15，20，25，30.
P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋
2×0.2×0.3＝0.37；
P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09. X的分布列为
X P 10 0.04 15 0.2 20 0.37 25 0.3
1．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)下图是某市11月1日至14日的空气质
3
30 0.09 量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至12日中的某一天到达该市，并停留3天．
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．
解：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)．依题意知，P(Ai)1
＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)． 12
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)5
＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.
12
5
即此人到达当日空气重度污染的概率为.
12
(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝， P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝， P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝. 所以ξ的分布列为
111466
512
212
16212
16
31124
ξ P 0 1 41 5 122 1 63 1 62.(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表： 年龄 (岁) 频数 [15，25) 5 [25，35) 10 [35，45) 15 [45，55) 10 [55，65) 5 [65，75) 5 4
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