U∞ = 0
再用功与电势的关系即可。 【答案】（1）2kq；（2）2kq。
3L3L【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2 ，质量分别为m1和m2 ，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？
【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）
【答】（1）kq1q2；（2）Ek1 =
rm2m1?m2kq1q2 ，Ek2 =
rm1m1?m2kq1q2；（3）kq1q2 。
rr〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1 、q2和q3 ，两两相距为r12 、r23和
r31 ，则这个点电荷系统的静电势能是多少？
〖解〗略。
〖答〗k（q1q2+q2q3+q3q1）。
r12r23r31〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。
〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则
动量关系 mv + 2m v′= 0
能量关系 3k
q2L = 2 k
q2L + k
q22L + 1mv2 + 12mv?2
22解以上两式即可的v值。 〖答〗v = q
2k3mL 。
三、电场中的导体和电介质
【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S ，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1 ，B板带尽电量+Q2 ，且Q2＜Q1 ，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。
【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强
定式。
为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ1 、σ2 、σ3和σ4 ，显然
（σ1 + σ2）S = Q1 （σ3 + σ4）S = Q2
A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1 ? σ2 ? σ3 ? σ4）= 0 A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1 + σ2 + σ3 ? σ4）= 0
解以上四式易得 σ1 = σ4 = Q1?Q2
2S σ2 = ?σ3 = Q1?Q2
2S有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如EⅡ =2πk（σ
1
+ σ2 ? σ3 ? σ4）= 2πkQ1?Q2〕。
S最后，UAB = EⅡd
【答案】（1）A板外侧电量Q1?Q2、A板内侧电量Q1?Q2，B板内侧电量?Q1?Q2、
222B板外侧电量Q1?Q2；（2）A板外侧空间场强2πkQ1?Q2，方向垂直A板向外，A、
2SB板之间空间场强2πkQ1?Q2，方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2π
SkQ1?Q2，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkdQ1?Q2，A板电势
SS高。
〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）
Q1?Q2〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）？
2如果在板间充满相对介电常数为εr的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？
〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象，外侧受力Q1?Q2·EⅠ（方向相左），内侧受力Q1?Q2·EⅡ（方
2222向向右），它们合成即可，结论为F = 2k?Q1Q2 ，排斥力。〕
S【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。
【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1 ，介质部分电量为Q2 ，显然有
Q1 + Q2 = Q
两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，
必有
U1 = U2 即 Q1 = Q2 ，即
C1C2Q1S/24?kd =
Q2?r?S/24?kd
解以上两式即可得Q1和Q2 。
场强可以根据E = U关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。
d上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k 、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与．．．．自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2 ，所以
E2 = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（
Q2S/2 ?
Q?S/2）
请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。
【答案】（1）真空部分的电量为个空间的场强均为
8?kQ(1??r)S11??rQ ，介质部分的电量为
?r1??rQ ；（2）整
；（3）?r?1Q 。
?r?1〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的
均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。
〖解〗略。
〖答〗Q′= ?r?1Q 。
?r四、电容器的相关计算
【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？
【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。
第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是
1C?C? + 1 =
C1C? 解C′即可。
第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程
1C?C总 + 1 =
C1C总
【答案】（1）
5?1
C ；（2）5?1C 。 22【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知
C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ，C8 = C10 = 3μF ，试求A、B之间的等效电容。
【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——
Δ→Y型：Ca = C1C2?C2C3?C3C1
C3 Cb = Cc = Y→Δ型：C1 = C2 = C3 =
C1C2?C2C3?C3C1C1C1C2?C2C3?C3C1C2
CaCcCa?Cb?CcCaCbCa?Cb?CcCbCcCa?Cb?Cc
有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——
【答】约2.23μF 。
【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1 = 3.0V ，ε2 = 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao 、Ubo和Uco各为多少。
【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。
电量关系：Uao+Uao+Uao= 0
CCC电势关系：ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco 解以上三式即可。
【答】Uao = 3.5V ，Ubo = 0.5V ，Uco = ?4.0V 。
【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？
【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。
（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总 = Ck = C
所以，从输入端算起，第．．．．．k单元后的电压的经验公式为 Uk =
U3k?1
再算能量储存就不难了。
（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足——
电量关系：Q1′= Q3′
Q2′+ Q3′= Q
3?Q3电势关系：
3C?Q1+ 3C?Q2 =
2C
721从以上三式解得 Q1′= Q3′= Q ，Q2′= 4Q ，这样系统的储能就可以用
1Q22C得出了。
CU22?32k?1【答】（1）Ek = ；（2）
CU263 。
〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）
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