习题集-计量

?E(Yi)??Xi

?E(Y)?E(1n?Yi)???1n?Xi??X

E(Yi?Y)??Xi??X??(Xi?X)?)?E(YX)??X?E(?1X??

ii2i?E(?2?E(?3XYXE(Y)??X??)?E()????

XXX???(X?X)(Y?Y)(X?X)E(Y?Y)??)?E[]?(X?X)?(X?X)?ii2i2i2iiiii22???(Xi?X)2ii?(Xi?X)2??

即三个估计量都是?的无偏估计量。

②?Var(Yi)?Var(?Xi??i)?Var(?i)??2

?)?Var(YX)?Var(1?Var(?1n?)?Var(Var(??XiYi2?YiX)?Xi?Var(YnX22i)22?n?nX2222??nX2i2i22

??X2i)??[?Xi]Var(Yi)??X??(?X?2)2?Xi2

?)?Var[?Var(?3(Xi?X)(Yi?Y)?(Xii?X)22]?(X?Var[?(X

ii?X)Yi?X)2]??[(Xi?X)?(X?X)2]Var(Yi)??2?(Xi?X)2

?的方差最小。 比较三者大小，容易得出估计量?2

第四章 多元线性回归模型

本章练习题解答

⒈⑴C ⑵D ⑶D ⑷C ⑸B ⑹B ⑺D ⑻B ⑼C ⑽A ⑾A ⑿D ⒀B ⒁C ⒉⑴BCD ⑵ACDE ⑶BCD ⑷AD ⑸BC ⑹ACDE ⑺ABCDE

⒊用于检验回归方程各个参数的显著性，是单一检验；而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性，是对回归参数的联合检验。在多元线性回归中，若F检验拒绝原假设，意味着解释变量与被解释变量之间线性关系是显著的，但具体是哪个解释变量与被解释变量之间关系显著则需要通过t检验来进一步验证，但若F检验接受原假设，则意味着所有的t检验均不显著。在一元线性回归模型中，由于解释变量只有一个，因此F检验的联合假设等同于t检验的单一假设，两检验作用是等价的。

⒋答：由于模型中四个解释变量之和为168小时是固定的，因此当一个解释变量发生变化时，至少有另一个变量也要发生变化才能维持总和不变，因而，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是毫无意义的。

如上所述，X1?X2?X3?X4?168,说明四个解释变量存在完全的线性关系，因此违背了不存在完全多重共线性的假定。

可以考虑去掉其中的一个解释变量，如去掉第四个解释变量X4，用剩下的三个变量作为解释变量进行回归分析，这样就不会存在完全多重共线性的问题，因而也就可以在保持其他变量不变的情况下，用其中一个解释变量对一学期平均成绩的影响进行解释了。

⒌解：①根据最小二乘原理，为求参数估计量，需使残差平方和最小：

2?X???X)2 mine?(Y???i?i11i22i?分别求偏导，并令偏导值为0，得如下正规方程组： 根据微积分知识，对上式??1与?2?(Y?(Y即

i?X???X)X?0 ??11i22i1i?X???X)X?0 ??11i22i2ii2???X1i??X1iX2i?1?2????X1iX2i??X1?2?22i?X??X2i1iYi Yi

2i解之得：

???1???2(?X1iYi)(?X22i)?(?X1iX22i)(?X2iYi))2i2??X1i?X221i2?(?X1iX2i

(?X2iYi)(?X1i)?(?X1iXX)(?X1iYi)2i?X22i?(?X1iX)2

②由①中的正规方程组知，对该模型，仍有

?e?r11?⒍?R??r21?r?31r12r22r32iX1i?0,?eiX2i?0

但不存在?ei?0,即由原点的线性方程，残差和不一定为零。

r13??r23?；（其中r表示解释变量的简单相关系数） r33??3?3又：r11?r22?r33?1；r12?r21?0.9894；r13?r31?0.9918；r23?r32?0.9864 1???R??0.9894?0.9918?⒎证明：

F???120.989410.98640.9918??0.9864?

?1?ESSkRSSn?k?1i2??(Y??ei?Y)22i2n?2??[(???[??1S??10?X)?(?????X)]2??1i01?e]?t

222in?2

??(X???X)2???1??2?(X?1??2?1?i?X)2⒏解：①该方程组的矩阵向量形式为：

251?1???1???1???2???6????3??3???????9? ????8?????3??3??????9???1? ??8???2?????13?3?1?②?2?TSS?RSSn?k?????1???2????3?Y?Y??121???????251????116???????X?Y53??n?k?13?3?1?9?2?8?1.9

③??的方差-协方差矩阵为：

?)???2(X?X)?1Var?Cov(??1??1.9??2?1?2511??1?6???6.525????2.475??0.675??2.4751.1250.225?0.675??0.225? 0.619??⒐解：①由数理统计学易知：

??2??)?Var(??)?4Cov(??,??)?4Var(??) Var(?121122②由数理统计学易知：

t???2???1?12??2??)se(?12

③由?1?2?2??知?1?2?2??，代入原模型得：

Y??0?(??2?2)X1??2X2??3X3?? ??0??X1??2(2X1?X2)??3X3??

这就是所需的模型，其中?估计值??及其标准差都能通过对该模型进行估计得到。

⒑解：①n?d.f.?1?14?1?15

②RSS?TSS?ESS?66042?65965?77 ③?R?R2266042n?115?12?1?(1?R)?1?(1?0.9988)?0.9986

n?k?115?2?1?ESSTSS?65965?0.9988

第五章 异方差性

本章练习题解答

⒈⑴C ⑵D ⑶A ⑷B ⑸B ⑹A ⑺C ⑻C ⑼A ⒉⑴ABCD ⑵AB ⑶BCDE ⑷ABCDE ⑸ABCD ⑹BE ⒊解:①在一元线性回归模型中,有:

?1?则:

~?xy?xi2ii??xi(?1xi??i)?x12i??1??x??xi2ii

x?E(?)???E(?x?~?x?)Var(?)?Var(?)?Var(?x~i12iii112ii)??1

?0??[22ixi?x222i]Var(?i)?2?i?jxi?x2i?xj?x2jCov(?i,?j)

??(?xxi?i)②由①中的结果,可得:

Var(?1~?)?在同方差下, Var(?1?~22i?x?xK

)???)?x?x~?xK,它与Var(?)相差一个乘子

?xKi2?x?(?x2i2?22ii2i2i2i2ii12i,显然,当Ki?1时,

?);0?K?1时,则有Var(?)Var(?i111~⒋解：变换后的模型的随机干扰项为

Var(?i?i2i，其方差为：

?i?2?i?i)?1?Var(?i)?2i?1

可见变换后的模型是同方差的。 为简化推导过程，记wi?1?i，则变换后的模型可记为：

wiYi??0wi?wi?1Xi?wi?i

为求得最佳估计值，根据最小二乘估计的原则，加权最小二乘估计要求最小化加权残差平方和：

?*???*X)2 ?2?w?w(Y???ii?ii01i?*,??*为加权最小二乘估计量，对??*,??*求偏导得： 其中，?0101