化为(x＋1)＋(y－2)＝1.①
→→
又AB·AC＝2(x＋1)＋2(y－2)＝2，化为x＋y＝2.② 联立①②解得?
?x＝－1，???y＝3
22
或?
?x＝0，???y＝2.
又点C在第二象限，∴C(－1,3)． →→
又CD＝BA，∴(a＋1，b－3)＝(－2，－2)， 解得a＝－3，b＝1. ∴D(－3,1)．
→
(2)由(1)可知AC＝(0,1)， →→
∴AC＋mAB＝(2m,2m＋1)， →→→
BC＝AC－AB＝(－2，－1)． →→→
∵AC＋mAB与BC垂直，
→→→
∴(AC＋mAB)·BC＝－4m－(2m＋1)＝0， 1
解得m＝－. 6
12．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(3，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，cosB＝解 (1)∵m⊥n，
∴m·n＝3sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0，
3
，求b的值． 3
?π?1
∴3sinA－cosA＝1，∴sin?A－?＝. 6?2?
ππ5π
∵0 666πππ ∴A－＝，∴A＝. 663 π3(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝， 33∴sinB＝1－cosB＝ 216 1－＝. 33 由正弦定理知＝， sinAsinB 17 ab62×342asinB∴b＝＝＝， sinA33 2 42∴b＝. 3 13．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为→→→ 半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值为________． 9 答案 － 2 解析 ∵圆心O是直径AB的中点， →→→→→→→→∴PA＋PB＝2PO，∴(PA＋PB)·PC＝2PO·PC， →→ ∵|PO|＋|PC|＝3≥2→→9∴|PO|·|PC|≤， 4 9→→→→→→→→→3 即(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2|PO|·|PC|≥－，当且仅当|PO|＝|PC|＝时，等号成立， 229 故最小值为－. 2 14．(2018·包头模拟)已知BC是圆O的直径，H是圆O的弦AB上一动点，BC＝10，AB＝8，→→ 则HB·HC的最小值为( ) A．－4B．－25C．－9D．－16 答案 D 解析 以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， →→|PO|·|PC|， 设点H(x，y)，则B(－5,0)，C(5,0)， →→ 所以HB＝(－5－x，－y)，HC＝(5－x，－y)， 18 →→ 则HB·HC＝(－5－x，－y)·(5－x，－y) ＝x＋y－25， 又因为AB＝8，且H为弦AB上一动点， 所以9≤x＋y≤25， 其中当取AB的中点时取得最小值， →→ 所以HB·HC＝9－25＝－16，故选D. 15．如图2，“六芒星”由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点 2 2 2 2 A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP＝xOA→ ＋yOB，则x＋y的取值范围是( ) →→ A．[－4,4] C．[－5,5] 答案 C 解析 如图建立平面直角坐标系， B．[－21，21] D．[－6,6] 33→→ 令正三角形边长为3，则OB＝i，OA＝－i＋j， 2223→→→ 可得i＝OB，j＝OA＋3OB， 3 →→→ 由图知当点P在点C时，有OP＝3j＝2OA＋3OB， 此时x＋y有最大值5， →→→ 同理当点P在与C相对的下顶点时有OP＝－3j＝－2OA－3OB， 此时x＋y有最小值－5.故选C. 16．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a 19 ＋2b－2c)＝2，则( ) A．|a－c|3＋7 3－7 max＝2 B．|a＋c|max＝2 C．|a－c|3＋7 min＝2 D．|a＋c|3－7 min＝ 2 答案 A 解析 由已知可得a·b＝|a||b|cosθ＝2， cosθ＝1π 2，θ＝3 ， 建立平面直角坐标系，a＝→ OA＝(2,0)， b＝OB→＝(1，3)，c＝OC→ ＝(x，y)， 由c·(a＋2b－2c)＝2， 可得(x，y)·(4－2x,23－2y)＝2， 即4x－2x2 ＋23y－2y2 ＝2， 化简得C点轨迹为(x－1)2 ＋??y－3?23?2??＝4 ， 则|a－c|＝?x－2?2 ＋y2， 转化为圆上点与(2,0)的距离 |a－c|max＝12 ＋? ?3?3?2?2 3＋7? ＋2＝2. 20
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